急！高数"微分中值定理与导数的应用"中的几题

Question

1.设f（x）在[0,1]上连续，在(0,1)中可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1/2,证明：对任意的c∈（0，1），存在ξ∈（0，1）使得f'(ξ)=c 2.已知f(x)在R内可导，且(x→∞)lim f'(x)=e, (x→∞)lim [(x+c)/(x-c)]=(x→∞)lim [f(x)-f(x-1)] 求c的值 请写出简单过程... 1.设f（x）在[0,1]上连续，在(0,1)中可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1/2,证明：对任意的c∈（0，1），存在ξ∈（0，1）使得f'(ξ)=c 2.已知f(x)在R内可导，且(x→∞)lim f'(x)=e, (x→∞)lim [(x+c)/(x-c)]=(x→∞)lim [f(x)-f(x-1)] 求c的值 请写出简单过程及结果，无限感激，好答案追加悬赏！ 展开

Answer 1

1、令
F(x)
=
f(x)
-
cx,易知F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)中可导
又
f(0)=f(1)=0
，f(1/2)=1/2，c∈（0，1）
则
F(1)
=
f(1)
-
c
=
-c
＜
0
F(1/2)=
f(1/2)
-
1/2
c
=
1/2
(1-c)＞
0
由零值定理可知，存在一个η∈（1/2
，1），使
F(η)
=
0
又
F(0)
=
f(0)
-
0
=
0
对F(x)在[0
,
η]上用罗尔定理，存在一个ξ∈（0，η）包含于（0，1）使得F′(ξ)
=
0
即f'(ξ)=c
2、任取x∈R,则f(x)在区间[x-1,x]内可导，在区间(x-1,x)内连续
由拉格朗日中值定理，存在一点
ξ∈(x-1,x)，
使得
f'(ξ)
=
[f(x)
-
f(x-1)]/[x-(x-1)]
即得
(x→∞)lim
f'(x)=(x→∞)lim
[f(x)-f(x-1)]
=
e
所以
(x→∞)lim
[(x+c)/(x-c)]^x
=
e
解得
c
=
1/2
（注：[(x+c)/(x-c)]应该漏掉一个x次方,否则没法求解，你再对照一下题目）