第1个回答 2012-05-07
第8章 一元一次不等式
----专题复习
本章小结
1、本章我们认识了不等式，研究了不等式的性质。学习了利用不等式的性质解一元一次不等式（组），在数轴上表示一元一次不等式的解集，并会利用数轴直观地得到一元一次不等式组的解集。
2、不等式的知识源于生活实际，我们要学会分析实际问题中量与量的不等关系，并抽象出不等式（组），利用得到的不等式（组）解决实际问题。
3、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似。它包括：(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项；(5) 系数化为1这些步骤。解不等式时要根据实际题目的要求做到灵活安排，并合理选取解题步骤。需注意的是系数化为1时，如果不等式两边乘以或除以同一个正数，则不改变不符号方向；但在不等式两边乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号方向。
4、解一元一次不等式组时，先分别求得每个不等式的解集，再求出它们的公共部分。后者通常利用数轴或熟记四种基本情形，采取“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”的方法确定。
5、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，不但可以加深我们对一元一次不等式（组）的解集的理解，也便于我们更直观地得到一元一次不等式的正等数解集特解问题和一元一次方程组的解集。
专题综合讲解
专题一 利用不等式的性质进行不等式的变形
例1 选择题
(1) 如果－a＜2，那么下列各式中正确的是（ ）
A、a＜－2 B、a＞2 C、－a＋1＜3 D、－a－1＞1
(2) 若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A、 B、 C、－a＞－b D、a－b＞0
(3) （2003·随州）若a＜0，关于x的不等式ax＋1＞0的解集是（ ）
A、x＞ B、x＜ C、x＞ D、x＜
(4) 若x是任意实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A、3x＞2x B、3x2＞2x2 C、3＋x＞2 D、3＋x2＞2
解：(1) C (2) D (3) D (4) D
点评：(1) 解答本题的关键是对不等式基本性质的理解和掌握程度。在运用不等式三条基本性质求解后，再加以筛选。
(2) 对有的选择题，如果直接求解困难或过繁，可用特殊值帮助筛选，以便减少答题时间。如(4)可取x＝－1，0，分别淘汰A、C、B，故选D。
例2 判断下列不等式的变形是否正确。
(1) 由a＜b得ac＜bc (2) 由x＞y且m≠0得
(3) 由x＞y得xz2＞yz2 (4) 由xz2＞yz2得x＞y
解：(1) 不正确，C可能是零，也可能是负数，变形后不能确定大小关系。
(2) 不正确。－m不一定是负数，变形后不能确定不等式的方向。
(3) 不正确。Z可能是0。
(4) 正确。由条件可知z2＞0。
点评：准确理解不等式的性质是解题的关键。注意考虑问题要全面。尤其是要注意性质3的应用。
专题二 解不等式或不等式组
例1 不等式
解：小数化为分数，得，
去分母，得4(2x－1)－6(3x－5)－2(x＋1)＋3×5＞0，
去括号，得8x－4－18x＋30－2x－2＋15＞0，
合并同类项，得－12x＋39＞0，
移项，得－12x＋39＞0
系数化为1，得x＜
点评：既含分母又有小数的不等式，可将小数化为分数，也可将分数化为小数，但后者有可能出现无限小数，会使运算答案不正确，常将小数全部化为分数后再解。
例2 解不等式组
解：解不等式(1)，得x＜－3；解不等式(2)，得x≥－4，
∴不等式组的解集为－4≤x＜－3.
点评：在解不等式(2)时要注意去分母括号的正确使用，如0.2(x－3)－0.5(x＋4)≤－1.4；本题也可先化小数系数为整数系数，如≤－14.
专题三 求不等式（组）的特殊解
例1 求不等式正的整数解。
解：去分母，得2(y＋1)－3(y－1)≥y－1（注意不要忘记加括号）
去括号2y＋2－3y＋3≥y－1（注意变号）
移项、合并－2y≥－6
系数化为1，y≤3（此步注意改变不等号方向）
因为不大于3的正整数有1, 2, 3三个，
所以不等式的正整数解是1, 2, 3。
点评：要确定一个不等式的特殊解，首先确定不等式的解集范围，然后把此范围内的符合条件的数找出来即可。
例2 求不等式组的非负整数解。
解：由不等式2x＋1＜3x＋3得x＞－2；由不等式得x≤5，所以原不等式组的解集是－2＜x≤5，它的非负整数解为0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数。
点评：对解答的不等式（组）的解集，在数轴上表示出来，可彻底解决漏解现象。如本例中，将所得不等式组的解集在数轴上表示成如图，显然其非负整数解一目了解，为0, 1, 2, 3, 4, 5。
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
专题四 用不等式解集的概念解决有关问题
例1 已知不等式组与的解相同，求a的值.
解：可化为 解不等式组得－2＜x＜1，而两不等式组的解相同，故－2＜x＜a－4。从而a－4＝1，故a＝5.
例2 （2003·重庆市）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 。
解：原不等式组可化为因为不等式组无解，所以x≤3，x＞a没有公共部分，即a≥3。
例3 若关于x的不等式(ax－5)＞x－a的解都是不等式1－2x＜3的解，求a的取值范围。
解：由不等式(ax－5)＞x－a，得(a－2)x＞5－2a；
由不等式1－2x＜3，得x＞－1；由题意得解得2＜a≤3。
专题五 不等式（组）与计算、估算、方程结合解决实际问题
方程和不等式的综合应用题是近几年中考常见题型，解这类问题的关键就是要弄清题中各量之间的关系，列出方程和不等式，从而求解。
例1 （2003·黑龙江）某中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖20人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等奖的奖品相同。
(1) 若一等奖、二等奖、三等奖的奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费113元，其中购买喷壶的总钱数比购买口罩的总钱数多9元，而口罩单价比温度计的单价多2元，求喷壶、口罩和温度计的单价是多少元？
(2) 若三种奖品的单价都是整数，且要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的2倍，二等奖奖品的单价是三等奖奖品单价的2倍，在总费用不少于90元而不到150元的前提下，购买一、二、三等奖奖品时，它们的单价有几种情况？分别求出每种情况下一、二、三等奖奖品的单价。
分析：本题以某中学预防“非典”知识竞赛这一活动为基本素材，编拟了一道方程与不等式珠联璧合的应用题。
解：(1) 设喷壶和口罩的单价分别是y元和z元。
则解之得
∴z－2＝2.5。
答：喷壶、口罩、温度计单价分别是9元、4.5元、2.5元。
(2) 设三等奖奖品的单价为x元，则二等奖奖品单价为2x元、一等奖奖品单价为4x元，则90≤4×4x＋6×2x＋20x＜150，
∴≤x＜。 又三种奖品单价都是整数，∴x＝2或3。
当x＝2时，2x＝4，4x＝8；当x＝3时，2x＝6，4x＝12。
答：购买一、二、三等奖奖品时，它们的单价有两种情况：第一种情况：一、二、三等奖奖品的单价分别为8元、4元、2元；第二种情况：一、二、三等奖奖品的单价分别为12元、6元和3元。
点评：不等式（组）的应用很广，题型很多，与方程结合应用的题目较多。前面已举了大量例子，这里不再赘述。
例2 哈市慧明中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机机房和一个高级计算机机房，每个计算机机房配备1台教师用机，若干台学生用机。其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元。已知两机房购买计算机的总钱数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元。则该校拟建的初级机房，高级机房各应配置多少台计算机？
分析：解这类题时，要在审题中抓住关键词语，并理解其含义，如“至少”，“至多”，“超过”，“大于”，“不大于”，“不小于”等，然后根据题意列出不等式组。
解：设该校拟建的初级机房配置x台计算机，高级机房配置y台计算机，根据题意，得
0.8＋0.35(x－1)＝1.15＋0.7(y－1), x＝2y,
20≤0.8＋0.35(x－1)≤21, 解得 ≤x≤,
20≤1.15＋0.7(y－1)≤21. ≤y≤.
∵ x、y均为整数，
∴ x＝56, 58；y＝28, 29.
∴
答：该校拟建的初级、高级机房分别有计算机56台、28台或58台、29台。
点评：不等式组解出后，要根据实际问题的意义，从解集中找出符合题意的答案，解一般取正整数。