反正切函数的这些泰勒级数展开式怎么证明？

如题所述

第1个回答 2023-02-18

505.1那段俄文应该说了线索
darctanx /dx = 1/(1+x^2)= 1-x^2 +x^4 -x^6 ....+ (-1)^kx^2k +....
对它求积分得到
arctanx = C+x-x^3/3 +x^5/5 ....+(-1)^kx^(2k+1)/(2k+1)....
然后根据arctan0 =0 得到C=0，这就是505.1的公式
1/(1+x^2)展开是等比数列求和公式，展开条件就是x^2<1
505.2
pi/2 -arctanx是arctanx的补角，根据诱导定理，可以知道
ctg (pi/2 -arctanx) = x = 1/tan(pi/2 -arctanx) ，所以
arctan x = pi/2 - arctan(1/x)，然后带入505.1就得到505.2
505.3
同理， arctanx = -arctan(1/x)-pi/2，带入505.1就好

相似回答

反正切函数的泰勒级数公式怎么证明答：而，当0<x²<1，即-1<x<1时，1/(1+x²)=∑(-x²)^n,n=0,1,2,…，∞。∴f'(x)=∑(-x²)^n。∴f(x)=∫(0,x)∑(-x²)^ndx=∑∫(0,x)(-x²)^ndx=∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)。其中，丨x丨<1，n=0,1,2,…，∞。...

大家正在搜

反正切函数的泰勒展开反函数泰勒级数展开反正弦函数的麦克劳林展开式反正弦泰勒公式展开式 tanz的泰勒级数展开推导反正切函数的导数泰勒级数展开公式常用常见的泰勒公式展开式反正切函数麦克劳林公式