第1个回答 2022-06-02
上一篇文章介绍了期望的计算公式：
其中， 为每一个数据元素数值，而 是这个值的出现概率。期望值，即一个数组的总体平均值，描述这组数据的中心趋势。在实际应用中，我们不单要知道一组原始数据的期望值，而且要知道这组数据线性变换后的期望值。
那什么是线性变换呢？简单地说，就是一个数值x，可以乘任意系数k，在加上一个任意常数c后的数值y。说得专业一点，y是x的一个线性函数或线性映射。
什么时候需要用到这样的变换呢？比如一件家具的生产出来后，成本价为x。经过流通环节，到达销售终端时，价格可能变成成本价的k倍，并加上c元。这就是一个线性变换。
现在我们的问题是，如果一家工厂生产了n种家具，每一件的成本价为 。那么，经过同样的流通后，也就是同样的线性变换后，最终售价的平均值，是否能用成本价的均值来推断呢，或者说，我们能否说
直觉上，这是可以的。很多书本或文章节选，都会直接给出这个式子，但是基本不作详细证明，直接来一句“显而易见”了事。我感觉这是不足够的。曾经看过某个数学家说过这么一句话，我深以为然。
于是，我打算对下面关于期望的三个变换作推导。
三个变换推论分别是：
1.
2.
3.
第一种变换的证明：
证毕
第二种变换的证明：
证毕
第三种变换的证明：
有了前两个推论证明，第三个变换已经显而易见。
证毕
最后提一句，关于期望和方差的各种推导，我还是喜欢回到最原始的各个数字相加后取平均的写法，因为我发现很多关于这个话题的证明，都直接使用连加符号（Sigma notation），初学者通常不适应。因此，这系列的文章的证明过程或许会“丑”一点。