第1个回答 2018-08-12
如果从圆入手的话，那么这个第n个数的问题就变成了：在圆上任取n个点，将这些点两两连接，这些直线会将圆分割成几部分？
让我们从简单的入手 ，我们知道点和直线把圆切割成了不同部分。那么我们就从圆的点和直线入手吧。
现在，我们把问题进一步转化成了圆上有多少条直线与有多少个点
在有多少条直线的问题中，每条线对应着两个点，两个点对应着一条直线。
设圆上有n个点，那么就有(n-1)个点与之相连，这就好比就好比每个队要相互比赛，第一个队是n，第二个队是(n-1)。那么这就变成了一个单循环问题。计算公式为
n(n-1)/2
用集合表示：C(n,2)(n取2）
现在到点的数量了，我们知道，两条直线相交形成一个交点，但很多直线的交点都不在圆内。因此，我们可以用
圆内接四边形来解决，即圆内每个交点都是由圆上的点组成的四边形组成。如图所示：也就是说，交点数量就是圆内圆内接四边形的数量(n-1)(n-2)(n-3)
与求直线数量类似的，原理基本相同：设圆上有n个点，乘(n-1)(n-2)(n-3)，再除以所有重复项，就会得到这样一个公式：
n(n-1)(n-2)(n-3)/1*2*3*4
即
n(n-1)(n-2)(n-3)/24
用集合表示::C(n,4)
那么现在我们回到我们原本的问 题 圆被分割的部分上，我们需要找到一个包含线，点，面的公式，比如：
欧拉公式
即
V-E+F=2(V：图中顶点数量，E：边的数量，F：图中分割区域的数量+外围数量（圆外面平面的数量）
不过，这个公式只适用于边不相交的图，因此，不能够直接套用该公式
我们也可以把交点看成顶点，相交的直线被顶点切割成了几小段，再加上圆上的顶点分割成的弦，就是E了
顶点数量就是圆上顶点 n 加上(n,4)个交点。我们先把公式变形，得：
F=E-V+2
将定点数量n+(n,4)代入V,得：
F=E-n-(n,4)+2
现在我们计算边的数量，每增加一个点等于增加两条边，每个交点将两条边分割成四份。例如
四条线交于三个点，直线会被分割成4+2*3=10（段）
在圆上，有n(n-1)/2条直线相交于 n(n-1)(n-2)(n-3)/24个点，或者说有C(n,2)条直线相交于C(n,4)个点，即
被分割成
n(n-1)/2+ 2n(n-1)(n-2)(n-3)/24段或C(n,2）+2C(n,4)段
加上n条作为边的弦::
C(n,2）+2C(n,4)+n
将C(n,2）+2C(n,4)+n代入公式，得
F=E-n-(n,4)+2=-C(n,2）+2C(n,4)+n-n-(n,4)+2
化简，得
F=2+（n,2)+(n,4)
再减去圆外围平面1，得
F=1+（n,2)+(n,4)
n^4-6n^3+23n^2-18n+24