高考数学：设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x2，

Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x2，
计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)．

Answer 1

(1)由于f(x+2)=-f(x),那么(用x+2代替x，可以得到)f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
则f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数
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由x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2，
得到f(0)=0
f(1)=1
由x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
得到f(2)=0
f(3)=-1
f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)总共是2009个f()相加，每四个的和为0，所以前2008个的和都为0，f(2008)=f(0+4*502)=f(0)=0
所以f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)=0追问

计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)......

追答

同理f(2 014)=f(2+4*503)=f(2)=0

f(2 013)=f(1+4*503)=f(1)=1
f(2 012)=f(0+4*503)=f(0)=0
f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)=0+f(2 014)+f(2 013)+f(2 014)=1

Answer 2

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Answer 3

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)_百度知道
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