已知一个n阶方阵的n个特征值和n个特征向量,能否唯一确定这个未知的n阶方阵?为

Question

如题所述

Answer 1

如果知道了所有特征值和各自所对应的特征向量, 那么可以唯一还原出原来的矩阵, 比如说, 已知Ax1=x1d1, Ax2=x2d2, ..., Axn=xndn, 改写成A[x1,x2,...,xn]=[x1,x2,...,xn]diag{d1,d2,...,dn}, 就可以得到A=[x1,x2,...,xn]diag{d1,d2,...,dn}[x1,x2,...,xn]^{-1}.
需要注意的是, 特征值和特征向量之间的对应关系必须要知道, 否则不能唯一确定; 另外, 如果有k重特征值, 那么对应的k个特征向量必须要线性无关, 否则特征向量的个数不够也无法还原.