已知函数f(x)的图像与y=2的﹣x次方的图像关于直线y=x对称,求函数y=f(4x-x的平方)的递减区间.

Question

已知函数f(x)的图像与y=2的﹣x次方的图像关于直线y=x对称,求函数y=f(4x-x的平方)的递减区间。 能否具体讲一下函数对称后的图像是怎么得到的？

Answer 1

函数f(x)的图像与y=2的﹣x次方的图像关于直线y=x对称,
函数f(x)与y=2^(﹣x)互为反函数，
所以f(x)=-log2(x)，x>0，减函数.
u=4x-x^2>0，0<x<4是复合函数y=f(4x-x^2)的定义域，
u=-(x-2)^2+4，0<x<2，u单调递增；2<x<4，u单调递减.
由复合函数单调性的“同增异减”法则，
函数y=f(4x-x^2)的递减区间是（0，2）.
函数对称后的图像是怎么得到的？
一般地，在y=2^(﹣x)选几个点，作关于直线y=x的对称点，用平滑的曲线连接起来即是.

Answer 2

解答如图，不懂可以追问，一定尽力解答，祝愉快

追问

那前面已经算出了f(x)=-log2x,为什么后面不将4x-x平方带进去吗？前面的条件对于整个题来说有用吗

追答

 

祝愉快

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Answer 3

若 f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称 则 g(x)与f(x)互为反函数 f(x)=-log2x
y=f(4x-x^2)=-log2(4x-x^2) 4x-x^2>0 x^2-4x<0 x(x-4)<0 0<x<4
k(x)=4x^2-x^2的递增区间为[2,+无穷）
y=f(4x-x^2)=-log2(4x-x^2) 的递减区间为 [2,+无穷）∩(0,4)=[2,4)