如何求出一个矩阵的特征值和特征向量？

Question

如题所述

Answer 1

令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。

设矩阵为A，特征向量是t，特征值是x，At=x*t，移项得（A-x*I）t=0，

∵t不是零向量

∴A-x*I=0，（2-x）（1-x）（-x）-4（2-x）=0，化简得（x-2）（x^2-x-4）=0，

∴矩阵有三个特征值：2，（1±根号17）/2。把特征值分别代入方程，设x=（a，b，c），可得到对于x=2，b=0，a+c=0，对应x=2的特征向量为（-1，0，1）（未归一化），其它x的一样做。

求矩阵的全部特征值和特征向量：

1、计算的特征多项式；

2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

以上内容参考：百度百科-特征值

Answer 2

求解矩阵的特征值和特征向量可以通过以下步骤进行：1. 计算矩阵的特征多项式：先将矩阵A表示为：A = [a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... an1 an2 ... ann]然后，计算特征多项式P(λ) = det(λI - A)，其中λ是待求的特征值，I是单位矩阵。2. 求解特征多项式的根：解特征多项式P(λ) = 0，可以得到矩阵A的所有特征值λ1，λ2，…，λn。3. 计算每个特征值对应的特征向量：对于每特征值λi，求解方程组(A-λiI)x=0，其中I是单位矩阵，可以得到特征向量x1，x2，…，xm。特别地，当特征值的重数大于1时，需要求解对应特征值的Jordan标准形式，并进一步求解Jordan块上的特征向量。注：这是基于线性代数理论的计算方法，如果使用计算机求解矩阵的特征值和特征向量，可以使用相应的数值计算软件或库函数。