设函数f(x)在区间[a,b]上连续,证明:∫f(x)dx=f(a+b-x)dx答:证明:做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,当x=a,t=b 于是∫(a,b)f(a+b-x)dx =-∫(b,a)f(t)dt = ∫(a,b)f(t)dt =∫(a,b)f(x)dx 即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
已知f(x)在有限开区间(a,b)上一致连续,求证f(x)在(a,b)上有界答:对ε=1.存在δ>0,且不妨设 a-δ<b-δ 当|x1-x2|<δ时,|f(x1)-f(x2)|<1 当x∈(a,a+δ)时,取x0∈∈(a,a+δ),则对任意的x∈(a,a+δ)f(x0)-1<f(x)<f(x0)+1 所以有界,同理可证在(b-δ,b)有界。而函数在闭区间[a+δ,b-δ]连续,一定有界。所以在开区间(...