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收敛必然有界
级数cosnx/n是
收敛
还是发散
答:
级数cosnx/n是发散。假设数列an是
收敛
的,那么有lim(n→∞)Sn=C(C是常数)。那么lim(n→∞)an=lim(n→∞)(S(n+1)-Sn)=lim(n→∞)S(n+1)-lim(n→∞)Sn=C-C=0。所以收敛级数的通项当n→∞时,极限
必然
是0当。而n→∞时,1/n→0。那么cos1/n→cos0=1,通项的...
数列{Xn} 对任何n、m有 0≤Xn+m≤Xn+Xm 求证Xn/n
收敛
,请问证明到最后怎 ...
答:
从而是相对于n的
有界
量):limsup X[n]/n <= (limsup k/n)X[m] + limsup X[r]/n = X[m]/m 这里 limsup k/n = lim k/n = 1/m 再对上式两端关于m取下极限(此时左端已经是常数):limsup X[n]/n <= liminf X[m]/m 从而两个极限
必然
相等,即数列
收敛
...
连续函数的
有界
定理与最值定理
答:
最值定理告诉我们,无论多么曲折的连续函数,总会找到一个点,它既是最大值点,也是最小值点。Cantor确界定理以巧妙的构造引导我们理解这个现象,Bolzano-Weierstrass定理则通过子序列的
收敛
性揭示了最值的存在,而Heine-Borel-Lebesgue定理则通过有限覆盖的逻辑,证明了这一结论的
必然
性。这些定理的证明过程...
等差数列有无界项吗?
答:
,XN,显然对于任意m, Xm<=|Xm|,所以对于所有n<=N,取其绝对值,并和刚才的E+|a|并为一个集合。N之前所有的Xn,都小于等于自身绝对值,N之后所有Xn都小于E+|a|。取该集合最大值为M,对于全部Xn来说,
必然
都小于这个值。最后,对于数列Xn, 确实存在M,对所有n, Xn<M,
收敛
数列必
有界
。
如何证明(-1)的n次方是发散数列?
答:
设数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立,则称数列xn
有界
。定理1:如果数列{Xn}
收敛
,那么该数列必定有界。推论:无界数列必定发散;数列有界 ,不一定收敛;数列发散不一定无界。数列有界是数列...
有限个间断点的函数怎么求极限?
答:
方法有3个:1.理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,b]上
必然有界
。2.计算法:切分(a,b)内连续 limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在;limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。
Hassani 数学物理笔记1.3-柯西序列,完备度量空间,连续性(14)_百度...
答:
在度量空间的元素中,
收敛
序列和柯西序列都拥有一个关键的特性——
有界
性。我们的证明揭示,收敛序列的每一个元素都被包含在一个以x为中心、半径r的开球内,这样的性质使它们在数学上显得约束而有序。最后,我们触及了度量空间的开放集定义,即对于任意点x,存在一个正实数ε,使得在X中,只要两点之间...
正项级数的比较审
敛
法
答:
从必要性的角度看,正项级数的部分和数列
必然
大于或等于0,且小于或等于
收敛
值,因此当正项级数收敛是,其部分和数列
有界
。比较审敛法很好理解。但是在实际中,常常需要用到比较审敛法的推广形式。从级数收敛的性质可知,改变数列的有限项不影响级数的敛散性,并且,对收敛级数的数列一般项乘以一个常数...
【学习笔记】完备性基本定理
答:
聚点与致密性 聚点原理表明,
有界
无穷点集在实数、复数和多维空间中都必有极限点。定理5.1.1至5.3阐述了这一核心原理,证明了有界无穷集合的
收敛
性。致密性定理,又称为魏尔斯特拉斯-波尔查诺定理,强调了有界序列在实数、复数和多维空间中必有收敛子序列(定理6.1.1至6.1.3)。柯西序列的完美收敛...
为什么闭区域上的要分开球
答:
闭区域上的要分开球理由如下。如果距离空间 中的子集 包含在 的某个开球或闭球内,则称
有界
。类似数学分析中的证明,距离空间 中的任何
收敛
点列及任何基本点列都是有界的。所谓聚点定理,是指实数轴上任一有界点列必有收敛子列。而该定理在一般距离空间中未必成立,且看下面的例子:例1:在闭区间 ...
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