在斜边为10的所有直角三角形中，求有最大面积的那个直角三角形。请用高等数学拉格朗日乘数法解答。

Question

如题所述

Answer 1

解:设直角边分别为a,b
∵a^2+b^2=10^2
∴构造条件函数φ(a,b)=a^2+b^2-100
S=1/2ab
∴本题可转化为求在φ(a,b)函数条件下S的最大值问题，属于条件极值问题中的有条件极值。
∴构造拉格朗日方程L(a,b)=1/2ab+λ(a^2+b^2-100)
∴求该拉格朗日方程关于x和y的偏导数联立方程组。
{1/2b+2λa=0 1/2a+2λb=0
两式相加得1/2(b-a)+(a-b)=0
整理后得a=b
所以a=b=5√2
在此条件下取得的极值为最值
即边长为5√2的等腰直角三角形时三角形面积最大。

Answer 2

应该是等腰直角三角形，面积为25。用圆内接三角形法可以很快得出，但不会拉格朗日……

Answer 3

等腰直角三角形