讨论这道广义积分第四题！。。的绝对收敛和条件收敛！！。。。。急求！。。

如题所述

推荐答案 2013-05-23

∫(0,+∞)x^psinx/(1+x^q)dx=∫(0,1)x^psinx/(1+x^q)dx+∫(1,+∞)x^psinx/(1+x^q)dx
对∫(0,1)x^psinx/(1+x^q)dx
x^psinx/(1+x^q)=[1/x^(-p-1)](sinx/x)/(1+x^q)
当-p-1<1 即p>-2时，它收敛。
对∫(1,+∞)x^psinx/(1+x^q)dx
x^psinx/(1+x^q)=[1/x^(q-p)]sinx/[1+x^(-q)]
当q-p>1 即p<q-1时，它收敛。
总之，所给广义积分 -2<p<q-1时收敛追问

能不能再问一道题目嘛。。。求lncosx在0到二分之π 广义积分的敛散性。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

追答

其实方法是一样的，你可以试着练习一下。

看积分区域内有几个瑕点

判断每个瑕点无穷小的阶

追问

试过很多柯西判别法什么的好像都失效了。。。到底要怎么做呢。。

追答

首先，lncosx在0到二分之π 广义积分只有x＝π /2一个瑕点

其次，lim(x→π /2)lncosx/(π /2-x)^(-q)=lim(-sinx/cosx)/(-1)(-q)(π /2-x)^(-q-1)

=-(1/q)lim[(π /2-x)^(q+1)]/cosx=-(1/q)lim(q+1)[(π /2-x)^q]/sinx=0 (0<q<1)

lncosx在0到二分之π 广义积分收敛。