高中圆锥曲线选择题，尽量用简便方法

Question

已知抛物线C:Y²=4x的焦点为F,p1,p2,p3是抛物线C上的不同三点，且|F1P|、|F2P|、|F3P|成等差数列，公差不为0，若P2的横坐标为3，则线段P1P3的垂直平分线与X轴交点的横坐标是？

答案5

Answer 1

由椭圆的焦半径公式：
|P1F|=X1+2,
|P2F|=X2+2,
|P3F|=X3+2,
三个半径成等差数列，所以x1+x3=2x2 ; y1+y2=2y2
设P1,P2的中点M(3,y0)
垂直平分线与x轴的交点为N（x ' ,0)
用点差法求P1P3的斜率：
y₁²=4x₁
y₂²=4x₂
(y₁+y₂)(y₁-y₂)=4(x₁-x₂)
2y0*k=4==>k=2/y0
MN的斜率为：－y0/2=(y0-0)/(3－x ')
x'-3=2==>x '=5

Answer 2

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),其中x2=3

那么有P1F=x1+p/2=x1+1,PF2=x2+1,PF3=x3+1
PF1,PF2,PF3成等差数列,则有2PF2=PF1+PF3,即有2x2=x1+x3=6
设P1P3的垂直平分线与X轴的交点是A(m,0),则有AP1=AP3
即有(m-x1)^2+y1^2=(m-x3)^2+y3^2
m^2-2mx1+x1^2+4x1=m^2-2mx3+x3^2+4x3
-2m(x1-x3)+(x1^2-x3^2)+4(x1-x3)=0
2m(x1-x3)=(x1+x3)(x1-x3)+4(x1-x3)
2m=x1+x3+4=6+4=10
m=5
即交点的横坐标是:5