同余的题目问今天是星期四，问10的1000次方 天后的那一天是星期几

Question

如题所述

Answer 1

今天是星期四，问10的1000次方 天后的那一天是星期几
解：即求 4+10^1000除以7的余数。
易见1001=7*11*13, 即10^3=1000==-1 mod 7
故10^1000=(10^3)^333*10==(-1)*10==-10 mod 7
故4+10^1000==4-10=-6==1 mod 7
即所求为星期一追问

10^1000=(10^3)^333*10==(-1)*10==-10 mod 7，请问一下里面的-1是怎么计算出来的啊，10^3=1000==-1 mod 7，为什么是-1，10==3mod 7，为什么10^3=1000==-1 mod 7是-1而不是3

追答

10==3 mod 7
10^3==3^3=27==6==-1 mod 7
这里使用了负数。注意，同余号两侧或一侧可以加减除数(模)的任意倍数，同余式仍成立。
这里6-7=-1.

题：求 4+10^1000除以7的余数。
方法二：
易见1000+1==0 mod 7, 故10^6-1=(100+1)(1000-1) =0 mod 7
或者直接得到10^6==1 mod 7
而1000=996+4=6k+4
故10^1000=996+4=(10^6)^k*10^4==1^k * 100^2 ==2^2=4 mod 7
于是 4+10^1000==4+4==1
即所求为星期一。

追问

忽然不明白为什么上面答案是-1，是6不可以吗？