数学题，求解答

Question

如题所述

Answer 1

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【题目】来源: 作业帮

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√2,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x−y+2√=0相切。

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交与A，B两点，O为坐标原点，则在椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形?请说明理由。

【考点】

椭圆的简单性质

【解析】

（Ⅰ）利用点到直线的距离公式及离心率公式即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及

OA+

OB=

OP，联立即可求得k的值，求得k2=114<12，椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形．

【解答】

(Ⅰ)依题意b=2√1+1−−−−√=1,e2=c2a2=a2−b2a2=12，

∴a2=2,b2=1

∴椭圆C的方程为x22+y2=1…(5分)

(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在,设直线的斜率为k,则其方程为y=k(x−2)，

由⎧⎩⎨⎪⎪y=k(x−2)x22+y2=1,得(1+2k2)x2−8k2x+8k2−2=0…(6分)

∵△=64k4−4(8k2−2)(1+2k2)>0，

∴k2<12…(7分)

设A(x1,y1),B(x2,y2),假设在椭圆C上存在点P(x,y)，使得四边形OAPB为平行四边形，

则有x1+x2=8k21+2k2,x1⋅x2=8k2−21+2k2,OA−→−+OB−→−=OP−→−，

∴(x1,y1)+(x2,y2)=(x,y)

∴x=x1+x2=8k21+2k2,y=y1+y2=k(x1−2)+k(x2−2)=−4k1+2k2

∵点P(x,y)在椭圆C上，

∴(8k21+2k2)2+2(−4k1+2k2)2=2即28k4+12k2−1=0

解得：k2=114<12，

所以在椭圆C上存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形.…(12分)

Answer 2

由e=c/a=2√2/3得√(a²-b²)/a=2√2/3,
即(a²-b²)/a²=8/9,
9a²-9b²=8a²,
a²=9b²，
直线与椭圆相切，刚联立方程只有一个解，把y=x+√10代入椭圆方程，x²/9b²+(x+√10)²/b²=1,
10x²+18x√10+90-9b²=0,
判别式=3240-40(90-9b²)=0，
81-(90-9b²)=0，
b²=1, a²=9b²=9，
椭圆方程为x²/9+y²=1追答

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Answer 3

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Answer 5

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