已知实数xy满足方程x平方+y平方-4x+1=0 求2x平方+y平方的最值

Question

是否可以看做圆上点到圆心距离平方+那个点的横坐标的平方 那么是不是就在圆被X轴截的两个点上就是最大值和最小值

Answer 1

答：x^2+y^2-4x+1=0
(x-2)^2+y^2=3
所以：
y^2<=3，-√3<=y<=v3
(x-2)^2<=3，2-√3<=x<=2+√3
原式=2x^2+y^2=2x^2+(4x-x^2-1)=x^2+4x-1=(x+2)^2-5
表示对称轴为x=-2的抛物线，开口向上，在[2-√3，2+√3]区间上为增函数。
所以：
最小值为x=2-√3时： （2x^2+y^2）min=(2-√3+2)^2-5=14-8√3
最大值为x=2+√3时： （2x^2+y^2）max=(2+√3+2)^2-5=14+8√3追问

我的意思是把2x平方拆开成x平方+x平方 这样就有x平方+y平方+x平方 然后看成原点到圆上的距离平方+横坐标平方 我们老师说2x平方+y平方没有几何意义所以要令x-2=根号3sinx y=根号3cosx 用三角函数来解 两种方法答案也是这个样子就是了.. 不过我想知道 你把y的范围算出来有什么用吗

我的意思是把2x平方拆开成x平方+x平方 这样就有x平方+y平方+x平方 然后看成原点到圆上的距离平方+横坐标平方 我们老师说2x平方+y平方没有几何意义所以要令x-2=根号3sinx y=根号3cosx 用三角函数来解 两种方法答案也是这个样子就是了.. 不过我想知道 你把y的范围算出来有什么用吗

追答

呵呵，解答的时候顺手把y的取值范围弄出来了。
把圆方程转化为三角函数的方式来求解也是可行的，
但转化三角函数的时候要对三角函数各种公式比较熟悉才行。

Answer 2

解：
x²+y²-4x+1=0
y²=4x-x²-1
代入所求，有：
2x²+y²
=2x²+4x-x²-1
=x²+4x-1
=x²+4x+4-5
=(x+2)²-5
可见：当x=-2时，2x²+y²取得最小值，最小值是-5。