F(x)是f(x)的一个原函数，为什么f(x)是奇函数能推出F(x)是偶函数？能不能证明一下

Question

如题所述

Answer 1

F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)是奇函数，则f（-x）=-f（x）
令G（x）=F（x）-F（-x），且G（x）可导
则G'（x）=f（x）+f（-x）=0
则G（x）为常函数，若F在0点有定义，G（x）=G（0）=F（0）-F（-0）=0
则F（x）=F（-x），F是偶函数
F必须在0处有定义才能推出是偶函数

Answer 2

F'(x)=f(x)=>F(x)=∫f(x)dx

奇函数：f(-x)=-f(x)

F(-x)=∫f(-x)d(-x)=∫-f(x)d(-x)=∫f(x)dx=F(x)

此时，F(x)为偶函数

扩展资料

1、如果知道函数表达式，对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x；

2、如果知道图像，偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称。

3、定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要不充分条件。

例如:f(x)=x^2，x∈R，此时的f(x)为偶函数.f(x)=x^2，x∈(-2，2](f(x)等于x的平方，-2<x≤2)，此时的f(x)不是偶函数。

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Answer 3

简单理解:因为fx奇，求积分后Fx+C偶函数上下平移还是偶函数。而fx为偶，积分后Fx+C得到积函数上下平移后不一定是奇函数。原谅画不了图，自已画吧。

Answer 4

追问

不严谨啊。用不定积分这种方法，f(x)是偶函数，就一定能推出F(x)是奇函数？

追答

(奇函数}'=偶函数 例(x³)’=3x²
(偶函数)'=奇函数 例(x²)'=2x
∫奇函数=偶函数。例∫xdx=½x²+c
∫偶函数≠奇函数。例∫x²dx=(1/3)x³+c

Answer 5