一个三角函数求定积分的问题。求（xsin2x-xsinx)在0~π的定积分。

Question

求（xsin2x-xsinx)在0~π的定积分。请详细说明，因此三角函数在定积分的运算法则完全忘了，最好提供一下相关运算法则，万分感谢。

Answer 1

令S(a,b) = ∫[a→b]xsinxdx,那么
S(a,b)
= -∫[a→b]xd(cosx)
= -xcosx[a→b] + ∫[a→b]cosxdx （分部积分）
= -xcosx[a→b] + sinx[a→b]
原式 = ∫[0→π]xsin2xdx - S(0,π)
= (1/4)∫[0→π](2x)sin2xd(2x) - π
= (1/4)∫[0→2π]tsintdt - π
= (1/4)S[0→2π] - π
= -3π/2.