第1个回答 2013-08-07
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1或x>2 奇过偶不过 就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。 运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： １． 出现形如（ａ－ｘ）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例１ 解不等式ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０。 解 ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜２或ｘ＞３｝。 事实上，只有将因式（ａ－ｘ）变为（ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是： 解 原不等式变形为ｘ（ｘ－３）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１，原不等式的解集为｛ｘ｜－１＜ｘ＜０或２＜ｘ＜３｝。 ２． 出现重根时，机械地“穿针引线” 例２ 解不等式（ｘ＋１）（ｘ－１）^２（ｘ－４）^３＜０ 解 将三个根－１、１、４标在数轴上，由图２得， 原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４｝。（如图二） 这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下： 解 将三个根－１、１、４标在数轴上，如图３画出浪线图来穿过各根对应点，遇到ｘ＝１的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到ｘ＝４的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集 ｛ｘ｜－１＜ｘ＜４且ｘ≠１｝（如图三） ３． 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线” 例３ 解不等式ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ^３－１）＞０ 解 原不等式变形为ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ^２＋ｘ＋１）＞０，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解 原不等式等价于 ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ^２＋ｘ＋１）＞０， ∵ ｘ^２＋ｘ＋１＞０对一切ｘ恒成立， ∴ ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，由图４可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜１或ｘ＞２｝ 源自发表于甘肃省数学学会西北师大分会主办的《数学教学研究》１９９８年第１期 （本文已作部分修改）
第2个回答 2019-10-09
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1
1
2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1
1
2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1或x>2 奇过偶不过 就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。 运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：
1．
出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
例1
解不等式x（3－x）（x＋1）（x－2）＞0。
解
x（3－x）（x＋1）（x－2）＞0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为｛x｜x＜－1或0＜x＜2或x＞3｝。
事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：
解
原不等式变形为x（x－3）（x＋1）（x－2）＜0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为｛x｜－1＜x＜0或2＜x＜3｝。
2．
出现重根时，机械地“穿针引线”
例2
解不等式（x＋1）（x－1）^2（x－4）^3＜0
解
将三个根－1、1、4标在数轴上，由图2得，
原不等式的解集为｛x｜x＜－1或1＜x＜4｝。（如图二）
这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：
解
将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x＝1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x＝4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集
｛x｜－1＜x＜4且x≠1｝（如图三）
3．
出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”
例3
解不等式x（x＋1）（x－2）（x^3－1）＞0
解
原不等式变形为x（x＋1）（x－2）（x－1）（x^2＋x＋1）＞0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解
原不等式等价于
x（x＋1）（x－2）（x－1）（x^2＋x＋1）＞0，
∵
x^2＋x＋1＞0对一切x恒成立，
∴
x（x－1）（x＋1）（x－2）＞0，由图4可得原不等式的解集为｛x｜x＜－1或0＜x＜1或x＞2｝ 源自发表于甘肃省数学学会西北师大分会主办的《数学教学研究》1998年第1期
（本文已作部分修改）