如图, 已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时, △DMN也随之整体移动) . (2)如图②,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图②证明;若不成立,请说明理由;
(1)
证明:连接DE,DF,EF.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC.
又∵DE,DF,EF为三角形的中位线.
∴DE=DF=EF,∠FDE=60°.又∠MDF+∠FDN=60°,∠NDE+∠FDN=60°,
∴∠MDF=∠NDE
又∵DM=DN,∴△DMF≌△DNE.
∴MF=NE.
(2)画出图形(如答图).MF与NE相等的结论仍然成立.
(3)点F在直线NE上.连接DF,NF,EF.由(1),
知DF=½AC=½AB=DB.又∠BDM+∠BDN=60°,∠NDF+∠BDN=60°,
∴∠BDM=∠NDF,又∵DM=DN,
∴△DBM≌△DFN∴∠DFN=∠DBM=120°.
又∵∠DFE=60°.∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180°.
可得点F在NE上.