对级数求和时,如果是先求导后积分,积分区间与在哪点展开是否有关

Question

（x+1）^n/n·2^n从n=1开始求和
有没有整理过的关于级数敛散性判断以及级数求和的一些方法？

Answer 1

　　从本质上说，积分区间与在哪一点展开是无关的，但为了计算简单，一般取积分区间为[x0, x]（x0为级数的展开点）。比如对级数
　　　　f(x) = Σ(n=1~inf.)[(x+1)^n]/[n(2^n)]，-3<=x<1，
求导，得
　　　　f‘(x) = Σ(n=1~inf.)[(x+1)^(n-1)]/(2^n)
　　　= (1/2)Σ(n=1~inf.)[(x+1)/2]^(n-1)
　　　= 1/[1-(x+1)/2] ， -3<x<1，
积分，得
　　　　f(x) = f(x)-f(-1) = ∫[-1, x]{1/[1-(t+1)/2]}dt = ……，-3<=x<1。

　　（这里取-1为积分下限的作用已经非常明显，可举一反三）
　　至于 ”关于级数敛散性判断以及级数求和的一些方法“，课本上写了不少，且通过习题基本上就很完整了，不必专门去做什么整理。

Answer 2

你是对幂级数求和，不是把函数展开成幂级数，不存在“积分区间与在哪点展开是否有关”的问题。

Answer 3

不知道你说的意思
(2x+2)^(n-1)对x求积分得1/2 (2x+2)^n / n 是要求的级数和的一半
对(2x+2)^(n-1)在[1,Infinity]上求和得-1/(2x+1)
再对x求积分得-1/2ln(-1-2x)
所以原式 = -ln(-1-2x)