n阶矩阵的秩是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

特征值的个数为n个 (重根按重数计)。

属于某个特征值的线性无关的特征向量的个数 不超过这个特征值的重数，若A可对角化, 则A的非零特征值的个数 等于 R(A)。

例如：|xE-A| = x^2(x-1) =0 的解，就是 1,0,0。0 称为2重特征值。

n阶矩阵最多有n个不同的特征值。

矩阵可以有无数个特征向量。

相同特征值可以对应不同的特征向量，不同特征值一定对应不同的特征向量。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

方阵的特征值的个数 = 矩阵的阶数。

重根按重数计

如 3阶方阵A,|A-aE| = (1-a)^2(2-a)。

则A有特征值 1,1,2。

方阵的秩大于等于非零特征值的个数。

矩阵有特征值必须是方阵，矩阵的秩是最高阶非0子式。

n阶矩阵必定有n个特征值，(特征值可能是虚数)，对于n阶实对称矩阵，不同特征值的高数和矩阵的秩相等。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。