为什么XY不相关就一定独立？

Question

如题所述

Answer 1

X，Y不相关，则不一定独立；反之，如果X，Y相互独立，那么X，Y必然不相关。

至于这个题的话，从理解上来说,XY存在一个平方和的关系，X^2+Y^2=1，那就不可能独立了。
不相关即相关性系数或者说协方差Cov(X,Y)=E(XY)-EX*EY=0
独立就是两个随机变量相互独立，等价于f(x,y)=g(x)h(y)，即联合密度函数等于两个边缘密度的乘积。
独立是不相关的充分不必要条件，即独立可以推出不相关，反之不行。
Proof:如果已知f(x,y)=g(x)h(y)，
独立=>相关 证毕
下面我们看相关!=>独立
如果已知 EXY=EXEY，显然是无法推出，f(x,y)=g(x)h(y)。
我们只需要构造一个反例就可以了，
反例如下
X 是在-1，-1/2，0，1/2，1上等可能取值的随机变量，Y=X^2