求函数奇偶性

Question

1、f（x+y）=f（x）+f（y）
2、f（xy）=f（x）+f（y）
3、f（ab）=af（b）+bf（a）

Answer 1

1、取 x=y=0 可得 f(0)=0 ，
取 y= -x 得 f(0)=f(x)+f(-x) ，因此 f(-x)= -f(x) ，
所以函数是奇函数。
2、取 x=y=1 可得 f(1)=f(1)+f(1) ，因此 f(1)=0 ，
取 x=y= -1 可得 f(1)=f(-1)+f(-1) ，因此 f(-1)=0 ，
由于 f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x) ，
因此函数是偶函数 。
3、取 a=b=0 可得 f(0)=0 ，
取 a=b=1 得 f(1)=f(1)+f(1) ，所以 f(1)=0 ，
取 a=b= -1 ，得 f(1)= -f(-1)-f(-1) ，因此 f(-1)=0 ，
所以 f(-x)=f(-1*x)= -1*f(x)+x*f(-1)= -f(x) ，
所以函数是奇函数。

Answer 2

1.令x=y=0，f(0)=2f(0)+1,则f(0)=-1
令x=-2,y=2,f(0)=f(-2)+f(2)-4+1,f(2)=4
令x=y=1,f(2)=2f(1)+1+1,f(1)=1.
2.f(t)=f(t-1+1)=f(t-1)+f(1)+t-1+1=f(t-1)+t
x>0时f(x)>0(这很容易看得出来） 所以f(t)>t
3.由1指，f(1)=1，当t>1时，由2知，f(t)=f(t-1)+t，当 x>0时f(x)>0，所以 f(t)>t
由题目条件知，f(-2)=-2，那么f(-2)=2f(-1)+2,则f(-1)=-2
当t<-1时,f(t)=f(t+1-1)=f(t+1)+f(-1)-t-1+1=f(t+1)-t-2>=f(t+1)>=f(-1)=-2
所以只能有f(-2)=-2
所以只有t=-2和t=1满足条件