1、定义为：
设函数f(x)在区间I上有定义，若对I中的任意两点x₁和x₂,和任意λ∈(0,1)，都有：
f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)，
则称f为I上的凸函数，若不等号严格成立，即“>”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。
同理，如果">=“换成“<=”就是凹函数。类似也有严格凹函数。
2、从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0。
扩展资料：
不同说法：
不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”；
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”；
凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义。
在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。
但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。
而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。
参考资料来源：百度百科-函数的凹凸性
设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),
则称f(x)是I上的凹函数。
若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。
这个定义从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2,y=lnx.
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;
参考资料：《数学分析》
f(x)=x²是凹函数。本回答被提问者采纳
设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),
则称f(x)是I上的凹函数。
若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。
这个定义从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2,y=lnx.
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;
参考资料：《数学分析》
f(x)=x²是凹函数。
回答者： 474096872 - 护国法师 十四级 7-1 17:38
为正解
这也是其名称由来
最好的办法是用原始定义（任意FX）得
实际上证明不难
比二阶导数容易