对于极限要明确一点，他是在某一点的名义在说一小段区间的故事。对于局部有限性来说也是这样，先看定义：
再画一幅图：
首先他告诉你，函数有极限，那么就一定有配套的ξ（可以看作是函数的子函数的定义域的一个条件，就是利用它可以推导出这个子函数的定义域），
当x满足这一条件的时候，那么函数有界，他的一个界为M（当然也可以取任意一个大于M的数作为一个新M，使得当x满足定义条件的时候，这个新M大于子函数的绝对值）。
你就会发现它的局部有限性，无外乎就是想表达这个意思：在x0的某一段邻域或者去心邻域内，如果他的极限存在（极限存在可以看作函数在向某一个值进行靠拢），那么函数在这一点附近的变化幅度不会太大，他一定是有界的。
如果要是放在整体来看，那就很明显就没有下界就不能叫做有界了。（这个是根据有界性定义推断的）
扩展资料：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。
在极限理论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、零点定理和一直连续性定理。其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。
比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准等。我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。
参考资料：有界性定理_百度百科
局部有界和函数在某点有极限是两个不同的概念，只是说，如果函数在某一点极限存在，那么这个函数就在这个点的某个空心δ邻域内是有界的，也就是说函数局部有界。
并没有说局部有界一定极限存在的。最简单的例子就是狄利克莱函数，D(x)=1(如果x是有理数） D(x)=0(如果x是无理数），在[0,1]区间内是有界的，但是对区间内的任意的a，当x趋于a时，极限是不存在的。
因为对于任意给定的点，这个函数都能大于给定的点。 比如，我给10亿，这个函数总有点大于10亿； 我给100亿也如此 也就是无论我给什么数，它都能大于 X—M语言解答
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函数极限的唯一性和局部有界性(老黄学高数第89讲)