P是等边三角形内一点，过点P作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，阴影部分面积为1，求等边三角形面积

Question

要解答过程

Answer 1

如图△ABC为等边三角形，面积设为S，P为三角形内任意一点，PE，PG，PF分别为各边上的高。

解：

过P点作三边的平行线，分别交三边与IJKLMN六个点

∵PK∥AC，PI∥AB

∴△PIK为等边三角形

又∵PG⊥BC

∴PG将等边△PIK分为面积相等的两部分，即S△PGI=S△PGK

同理可得△PJL和△PMN为等边三角形，有S△PEL=S△PEJ，S△PFN=S△PFM

∵PI∥AB，PJ∥BC

∴四边形BIPJ为平行四边形，对角线BP分得面积相等的两部分，即S△PBI=S△PBJ

同理四边形CNPK和ALPM均为平行四边形，即S△PCN=S△PCK，S△PAL=S△PAM

图中阴影部分面积

S阴影=S△PBI+S△PGI+S△PCN+S△PFN+S△PAL+S△PEL

图中空白部分面积

S空白=S△PBJ+S△PGK+S△PFM+S△PAM+S△PEJ

∴S阴影=S空白

∵S阴影=1

∴S△ABC=S阴影+S空白=2S阴影=2

注：我的图画的标号有些诧异，思路完全一致，以供参考。