有些较特殊的数的平方,掌握规律后,可以使计算速度加快,现介绍如下。
1.求由n个1组成的数的平方
我们观察下面的例子。
1^2=1
11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321
11111^2=123454321
111111^2=12345654321
……
由以上例子可以看出这样一个规律;求由n个1组成的数的平方,先由1写到n,再由n写到1,即:
11…1^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321
n个1
注意:其中n只占一个数位,满10应向前进位,当然,这样的速算不宜位数过多。
2.由n个3组成的数的平方
我们仍观察具体实例:
3^2=9
33^2=1089
333^2=110889
3333^2=11108889
33333^2=1111088889
由此可知:
33…3^2 = 11…11 0 88…88 9
n个3 (n-1)个1 (n-1)个8
3.个位数字是5的数的平方
把a看作10的个数,这样个位数字是5的数的平方可以写成;(10a+5)^2的形式。根据完全平方式推导;
(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2
=100a^2+100a+25
=100a×(a+1)+25
=a×(a+1)×100+25
由此可知:个位数字是5的数的平方,等于去掉个位数字后,所得的数与比这个数大1的数相乘的积,后面再写上25。
例 计算 1)45^2; 2)115^2。
解:1)原式=4×(4+1)×100+25 2)原式=11×(11+1)×100+25
=2000+25 =11×12×100+25
=2025 =13200+25
=13225
4.同指数幂的乘法
a^2×b^2是同指数的幂相乘,可以写成下面形式:
a^2×b^2=a×a×b×b=(a×b)×(a×b)=(a×b)^2
由此可知:同指数幂的乘法,等于底数的乘积做底数,指数不变。根据这个法则可以使计算简便。如: 2^2×5^2=(2×5)^2=10^2=100
2^3×5^3=(2×5)^3=10^3=1000 2^4×5^4=(2×5)^4=10^4=10000
根据上面算式,可以得出这样一个结论:
a^m×b^m=(a×b)^m
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