关于微积分一些基本问题不需要技巧

Question

我想问一下，微积分中的变量代换我始终有点疑问，最简单的比如:

∫sin(2x)dx=∫2sinxcosxdx=∫2sinxdsinx=sin^2(x)+C，或者

∫sin(2x)dx=∫1/2sin(2x)d(2x)=-1/2cos(2x)+C

这两种方法我们其实用了换元思想，稍稍想想似乎是明显的，但是我一开始不知为什么就觉得没这么简单，当然教材上关于这种换元很严密地证过了，我也懂，只是感觉就是差了一点，我想问一下大家也和我有一样的过程，还是理所当然地就认为是这样，因为之前数学好多东西我都是觉得是理所当然的，我感觉自己也能搞出来，只是现在关于微积分的换元我不是很认同有那么简单。举个例子，

它这里用了换元并反代回去，我总觉得这样是不是不够严密，如果这没什么争议，那为什么一开始说的方法需要证明，还是说那个是可以拓展的只是我没理解透彻？

Answer 1

图片里的例子跟换元没有关系。
图片里说的只是对定积分上下限求导的方法，由牛顿莱布尼兹公式和求导的链式法则推出。过程里只是换了字母，谈不上换元。
换元实际上是在求一个函数在一个体积（一维时即区间）上的积分（一维时即定积分）时，要想使积分值在不同坐标系下保持不变，那么不同坐标系下的体积元之间需要满足一定的关系，比如dxdydz换成r^2sin(theta)dr d(theta) d(phi)，详细的可以去看看微分形式方面的知识。追问

这怎么不算换元？有中间变量，并且反代回去，从某种意义上说，我模糊绝觉得它也体现了一阶微分形式不变。

追答

我说的是对积分而言的换元，题目里的“换元”实际上是对微分过程而言的，换句话说微分的链式法则是微分形式不变性的另一种体现，不过他和积分里体积形式的变换不是一回事

追问

不好意思，你肯定是个行家，我还是不明白，尼能不能就积分换元举个例子讲解详细一点

追答

之前举了一个很典型的例子啊，三维体积形式在直角坐标下表示成dxdydz，在求坐标下就表示成r^2sin(theta)dr d(theta) d(phi)，体积元在不同坐标下的变换就是我说的积分的换元

追问

我肯定是太急于求成，要么我是个笨蛋，这个问题我以后一定会解决，等有了足够的知识，也许能明白你说的话

Answer 2

　　首先，作为换元积分法，第一类换元其实最后做熟了根本不写换元步骤，直接出结果，定积分的话就是直接把数字带进x就行了；二类换元你要熟悉三角函数平方和1的关系，这个需要背，其实就是这两类换元了，你前面说的简单的例子其实就是一个典型，第一种办法是将三角函数展开，用的是初等数学二倍角公式，然后把任何一个放进微分号里面去，就可以做了，第二种办法利用的是无限分割的分割数与倍数的关系，也就是说微分算子里面的数字完全可以跨越微分算子和积分号到外面去，其实第二种方法更简单，因为它应用了更抽象的思维。至于你给的后边的图，这是个变上限复合积分函数求导，换元是多此一举，直接套用公式就行了

Answer 3

去看看教科书上关于换元的条件的部分，这个替换的函数要是可导的，这里的2x及cosx都没问题的，那个换元的公式是个一般的形式，这就需要加上可导的性质进行证明，不是所有的函数都符合的。