费马数列中是否用无穷多个素数？

Question

如题。

Answer 1

我想是这样的，现在并不知道Fermat数列中是否有无穷多个素数，不过近代素数分布理论中的某些定理似乎支持Fermat数列中仅有有限多个素数，原因如下：根据素数定理：不超过x（x>1）的素数的个数π（x）的阶是x/lnx，即存在常数A满足π（x）<Ax/lnx，这样如果从1，2，…，n这一段整数里取数，那么取到素数的概率应该不超过A/lnx，因此Fermat数列里总的素数的数学期望就是AΣ（1/ln(2^(2^n)+1)）其中Σ求和对n求，n过全体正自然数，而这个级数显然是收敛的，上面这个解释不能叫证明，它很缺乏严格性，不过有这有理由相信很有可能只有有限个Fermat素数。

Answer 2

F1=2^(2^1)+1=5
F2=2^(2^2)+1=17
F3=2^(2^3)+1=257
F4=2^(2^4)+1=65537
F5=2^(2^5)+1=4294967297
前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是质数.
由此提出(费马没给出证明),形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想.后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数.
1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^(2^6)+1=274177*67280421310721,不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至有人猜想：费马数N>4时，费马数全是合数!
所以说其实不知道后面的是不是素数，更不能断言有无穷多个了

Answer 3

http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number楼上的方法在网页中有提到.