分解因式的具体方法？

Question

如题所述

Answer 1

正如数字分解质因数，
要变成所有的质数相乘的等式，
分解因式，就要彻底分解，
尽可能降低各个因式的最高次数，

具体方法，
第一步，提公因式，这也是最简单的方法，
公因式不仅有：系数、字母、单项式，这些我们都熟悉了，
而且，公因式还可能是一个式子，例如
(a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b)，公因式是 (a+b)
= ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) 这样再提系数 5
= 5( a + b )( m + n )

第二步，公式法，
就是把整式乘法的公式倒过来用，
a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差，
a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和，
a" - 2ab + b" = (a - b)" ——完全平方差，
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和，
a"' - b"' = (a - b)(a" + ab + b") ——立方差，
熟悉公式，熟悉平方数、立方数是关键，

平方差，还有两个完全平方相减的式子，
例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"
= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

完全平方公式，
或许因为 a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"
公式就只有一个式子 (a + b)" = a" + 2ab + b"
关于完全平方差，应该注意
( a - b )" = [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"
= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"

立方和、立方差，
分解因式变成五个项，两个一次项、三个二次项，
熟悉公式是难点，就拿具体数字算一算，
2"' - 1 = 8 - 1 = 1 X 7 = ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
我就是利用“棋盘上的麦粒”问题，熟悉了立方差
a"' - 1 = ( a - 1 )( a" + a + 1 )
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b )
立方差原来两个立方相减，
两个一次项也是相减，三个二次项就都是相加，
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
立方和，就只有中间一个二次项 -ab 是减，其余都是相加

第三步，
二次三项式，十字相乘分解，
我的建议，使用分组分解法更好，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
把单项式 mx = (a+b)x ，拆开变成 ax + bx ，
就能够分组提公因式进行分解

Q 关键是怎样把一次项一分为二，就由常数项的正负来决定，
一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
还有
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
Q 如果常数项是正数，
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；
或者，完全平方式也可以这样分解

再看
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x - 12 )( x + 2 )
还有
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x + 12 )( x - 2 )
Q 如果常数项是负数，
一次项系数就是分开两个项的相差数；

这样的二次三项式，
一次项与常数项，绝对值不变，
两项正负二二得四，就都有 4 种情况，
x" ± 5x ± 6
x" ± 10x ± 24
x" ± 15x ± 54
x" ± 20x ± 96
x" ± 25x ± 150
要么你也多做几个，熟悉一下这个方法

最后，就要检验，
确保分解彻底，因式分解变形正确，
例如 x^6 - y^6，应该
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相当于 64 - 1，
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
如果先用立方差，做成
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就还有 21 分解不彻底，也就不正确了

正如现在的平方差，有两个完全平方相减，
现在要求分解的式子都比较复杂，要想还原就不方便了，
各种类型的式子，我们就都要熟悉两三种解答方式，
这样才能够相互检验，确保解答正确。

Answer 2

因式分解（分解因式）Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。

含义

因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式　定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法为相反变形。
同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤.

高级结论

在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。
1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。
2 、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。（这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。）
3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。

方法

因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
注意四原则：
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)
归纳方法：
1．提公因式法。
2．运用公式法。
3．拼凑法。
4．组合分解法。
5．十字相乘法。
6．双十字相乘法。
7．配方法。
8．拆项补项法。
9．换元法。
10．长除法。
11．求根法。
12．图象法。
13．主元法。
14．待定系数法。
15．特殊值法。
16．因式定理法。

提取公因式法：
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

（真诚为您解答，希望给予【好评】，非常感谢~~）

Answer 3

定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做这个多项式的分解因式（分解因式为正式的逆运算）
因式分解：a的平方-4=（a+2）（a-2）
分解因式：（a+2）（a-2）=a的平方-4
方法：提取公因式：1找多项式每项的公因式
2提公因式
注意问题：1每个括号多不能提
2每个括号的第一项不能提数
3数字的最大约数不一定为1
4（x-y）^2n=（y-x）^2n （x-y）^2n+1=-（y-x）^2n+1 -a+b=-（a-b） 5分解后答案不能有多重括号，每个括号都要化简
6数字和单个字母要写在最前面
7能变相同的要写相同因式
8求代数的值：先因式分解在求值
方法：公式法：1平方差公式
2完全平方公式
平方差公式：：a的平方-4=（a+2）（a-2）
（a+2）（a-2）=a的平方-4
注意：分解的结果不能为根号，如：x的平方-7y的平方

完全平方公式：首的平方加减2*首*尾+尾的平方
特点：1必须是三项式
2有两个“项”的平方（有两个“项”的符号相同）
3有这两“项”的2倍或-2倍
方法：分组分解法
如果整式是4项，分组方法有 2 2分
1 3分（必须是完全平方）
例：xa+bx+ya+by
解：2 2分
xa+bx+ya+by
=（xa+bx）+（ya+by）
=x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）

解：1 3分
xa+bx+ya+by
=（xa+ya）+（bx+by）
=a（x+y）+b（x+y）
=（a+b）（x+y）

5项：分组分解是2 3分
6项：分组分解是2 2 2分
3 2 1分
3 3分
方法：十字相乘法
定义：1常数项是正数是，它分解成两个同号的因数，它们与一次项系数符号相同
2常数项是负数是，它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同
例：x的平方+7x+10 （归纳一）
1 2 =（x+2）（x+5）
1 5
2+5=7
例：x的平方+3x-4 （归纳二）
1 4 =（x+4）（x-1）
1 -1
4+（-1）=3

Ax的平方+Bx+C=（A1x+C1）（A2x+C2）
（ABC是常数）A1*A2=A
C1*C2=C
A1 C1
A2 C2
--------------
A2C1+A1C2=B
因式分解的应用：
解决方法：1化简
2因式分解
3配方

Answer 4

先提供饮食，再因式分解 刚好学到这

Answer 5

分解因式的方法有什么？