设三角形ABC的内角ABC的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=3/2，b^2=a

Question

设三角形ABC的内角ABC的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=3/2，b^2=ac,求B
最后要把2π/3舍掉，答案是π/3，为什么

Answer 1

cos(A-C)+cosB
=cos(A-C)-cos(A+C)
=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC
=2sinAsinC
=3/2
即sinAsinC=3/4
根据正弦定理，
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
b^2=sin^B*4R^2
a=sinA*2R c=sinC*2R
所以，sin^B=sinA*sinC=3/4
因为B<180
所以，sinB=√3/2
B=60°或120°
如若，B=120，则 cosB=-1/2
cos(A-C)-1/2=3/2
cos(A-C)=2(不成立)
所以，B=60°

Answer 2

cos2π/3<0 则cos(A-C)+cosB<cos(A-C)<1 与题目cos(A-C)+cosB=3/2不相符 所以应舍去 求采纳

Answer 3

∵cos(A-C)+cosB=3/2
∴cos(A-C)-cos(A+C)=3/2
∴sinA*sinC=3/4
又∵sinA=asinB /b,sinC=csinB/b
∴ac(sin²B)/b²=3/4
∴sinB=√3/2
∵ b²=a²+c²-2accosB
如果cosB=-1/2
b²=a²+c²+ac,必定大于ac,不可能等于ac
∴cosB=1/2===> B=60º