求高手解答！！！在第一卦限内作椭球面

Question

x^2+y^2+1/2z^2＝1的切平面，使它与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求该切平面的方程

Answer 1

设F(x,y,z)= x^2+y^2+1/2*z^2-1=0,
求偏导，Fx=2x,Fy=2y,Fz=z,
在F(x,y,z)上一点(x0,y0,z0)处的切平面的法向量为(2x0,2y0,z0),切平面方程为：2x0*(x-x0)+2y0*(y-y0)+z0*(z-z0)=0,
2x*x0+2y*y0+z*z0-2x0^2-2y0^2-z0^0=0
2x*x0+2y*y0+z*z0-2=0,
切平面与z轴交点(0,0,2/z0),与x轴交点(1/x0,0,0),与y轴交点(0,1/y0,0)
切平面与坐标平面所围成的四面体体积V=1/2*1/x0*1/y0*1/3*2/z0=1/3*1/(x0*y0*z0),
当x0*y0*z0最大时，x0=y0=z0=√(2/5),体积V=1/3*5/2*√(5/2)=5/12*√10最小。
则切平面方程为：2x*√(2/5)+2y*√(2/5)+z*√(2/5)-2=0，即2x+2y+z-√10=0

Answer 2

球面是x^2+y^2+1/2z^2＝1

那么设F(x)=x^2+y^2+1/2z^2-1

F(x)对x的偏导是2x

F(x)对y的偏导是2y

F(x)对z的偏导是z

所以球面在第一卦限内的法向量是(2x，2y，z)，且x，y，z都大于0

设某一点的法向量是(2x0，2y0，z0)

该切平面就是2x0(x-x0)+2y0(y-y0)+z0(z-z0)=0

当x=0，y=0时，z=2/z0

当z=0，y=0时，x=1/x0

当x=0，z=0时，y=1/y0

所以四面体体积V=xyz/6=1/3x0y0z0>=根号2/2

x^2+y^2+1/2z^2＝1>=1/3*根号(x^2*y^2*z^2/2),当且仅当x^2=y^2=1/2z^2。

所以1/3xyz即四面体体积最小值为根号2/2

你要知道第一卦限是不包括x=y=z=0，而且你xyz也不可能都是0的啊！

x0,y0，z0是表示某个确定的一个法线向量！在确定法线向量的情况下把切平面求出来的。其实x0,y0，z0还是变量！