线性代数的问题

Question

设n阶实对阵矩阵A是正交且正定的矩阵，请问如何证明：A必是单位矩阵，谢谢

Answer 1

证明：
A为正交矩阵，则AAT=E，有AT=A，则AA=E，故AA-E=0
设A的特征值为λ与α，则(AA-E)α=λ^2α-α=0，又因为α不为0，则λ^2=1，故λ=1或-1，故A的特征值只能为1或-1
又因为A为正定，故A的特征值只能为1，故λ=1为A的三重特征值
A为实对称矩阵，故A一定可以相似对角化，且存在可逆矩阵P满足：
P^-1AP=E 所以A=PEP^-1=E
故，A为单位矩阵E