为什么直线与双曲线只有一个公共点以后不一定相切？

Question

百度百科说，相切就是两条曲线(或其中一条是直线)只有一个公共点。但是高中的数学里面却出现这种情况。
①双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1，直线y=b/a*x+α(α＞0)。明明直线与双曲线的一条渐近线平行，且与左支只有一个交点，与右支没有交点，为什么直线却不与双曲线相切？
②已知抛物线y^2=2px与直线x=φ(φ∈R)，很明显也只有一个交点，但是高中数学书上面却说他们不相切。
③已知曲线y=x^3与y轴，只有一个公共点，但是他们却是相切的！
④已知三角函数曲线y=sinx与过原点直线，与曲线只有一个公共点的过原点直线很多，但是相切的直线只有y=x！
求高手解释切线的真正定义。

Answer 1

不是的。所谓的只有一个交点是对于圆和椭圆这种曲线而言的。如果是一般的曲线是不适合的。切线的唯一定义是：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。
所以，对于一般的曲线，“直线与曲线相切”与“直线与曲线只有一个交点”是互不联系的。他们也就只对于椭圆和圆来说是充要条件。切线反映的是该点的走向问题。如果楼主难以理解而，就这样想象一下吧：物理的运动分解学过了吧？将曲线运动分解成无数条线段，那么那些线段的方向就是该点的速度方向（也就是切线方向）。所以，切线这种东西其实也很麻烦，如果是还没有开始学切线但是在圆锥曲线里面已经涉及提到过了，那么就先暂时记在脑子里吧，以后一定会学的。呵呵~

Answer 2

切线的定义并不是“只有一个公共点”，切线真正严格的定义从割线而来。
①割线的定义，指的是一条曲线上两个点AB连成的直线
②切线是割线的极限情况，也就是让B靠近A，这过程中直线AB不断变化，到B无限靠近A的时候割线AB就变成了切线（这都是不严格的语言，真正严格的描述要用到高等数学的知识）。注意，凡是“切线”二字在我的回答中均指的是直线。
③曲线与曲线相切，可以理解为两个曲线有公共点A，且在A点有一条公共的切线l。

所以切线和曲线必然有一个公共点（A点），但并不一定只有一个公共点（想象一下如果一个S形的曲线，按上面定义做一个切线，切线与曲线很有可能有2个或者2个以上的公共点）；反过来，与原曲线只有一个公共点的直线未必是切线，楼主已经举出反例。曲线与曲线相切则更为复杂，但结论和直线一样（相切则至少有一个公共点，只有一个公共点不一定相切）
以公共点个数来定义相切，我记得是初中讨论直线和圆相切的时候说的吧，那个是很特殊的情况，放到一般的曲线和直线相切问题或者曲线和曲线相切问题肯定是不行的。本回答被网友采纳

Answer 3

切线的唯一定义是：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。

Answer 4

求导，导数是切线斜率