利用行列式的性质，计算行列式

Question

题目如图。

Answer 1

看成x的多项式，不难发现此行列式是x的三次多项式

而x=a,b,c时行列式为0，所以a,b,c是多项式的根

多项式一定包含x-a,x-b,x-c的因式

类似的分别看成a,b,c的多项式

最后得到结果包含x-a,x-b,x-c,a-b,a-c,b-c

所以设行列式值为M(x-a)(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)(b-c)，M待定

先考虑x^3的系数

由行列式可以知道系数为

而根据结果的因式分解知道系数为M(a-b)(a-c)(b-c)，

 

再比较此系数中a^2的系数，由行列式知道系数为b-c

 

由因式分解的结果得到系数为M(b-c)

 

所以M=1

追问

=0，不好意思漏写了，可以重新解释不亲。。。

追答

首先行列式展开是x的三次多项式
按第一列展开就可以证明

然后很容易验证x=a,b,c时行列式为0
而三次多项式至多有三个根
所以根就是a,b,c

追问

不清楚明白呢。具体具体可以么？

追答

如果这是考试题，写成我补充回答里的那几行就能拿满分了
那我就再详细点吧

展开式是x的三次多项式，按第一列展开，第一列的代数余子式里都不含x，所以x的最高次就是x^3

然后令x=a，第一列与第二列就完全相同，所以行列式为0
类似的，x=b或x=c时行列式也为0

Answer 2

范德蒙行列式，你上网一搜就知道怎么解了。该行列式等于（a-x)(b-x)(c-x)(b-a)(b-a)(c-b)