利用行列式的性质,计算行列式

题目如图。

看成x的多项式,不难发现此行列式是x的三次多项式

而x=a,b,c时行列式为0,所以a,b,c是多项式的根

多项式一定包含x-a,x-b,x-c的因式

类似的分别看成a,b,c的多项式

最后得到结果包含x-a,x-b,x-c,a-b,a-c,b-c

所以设行列式值为M(x-a)(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)(b-c),M待定

先考虑x^3的系数

由行列式可以知道系数为

而根据结果的因式分解知道系数为M(a-b)(a-c)(b-c),

 

再比较此系数中a^2的系数,由行列式知道系数为b-c

 

由因式分解的结果得到系数为M(b-c)

 

所以M=1

追问

=0,不好意思漏写了,可以重新解释不亲。。。

追答

首先行列式展开是x的三次多项式
按第一列展开就可以证明

然后很容易验证x=a,b,c时行列式为0
而三次多项式至多有三个根
所以根就是a,b,c

追问

不清楚明白呢。具体具体可以么?

追答

如果这是考试题,写成我补充回答里的那几行就能拿满分了
那我就再详细点吧

展开式是x的三次多项式,按第一列展开,第一列的代数余子式里都不含x,所以x的最高次就是x^3

然后令x=a,第一列与第二列就完全相同,所以行列式为0
类似的,x=b或x=c时行列式也为0

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第1个回答  2013-03-13
范德蒙行列式,你上网一搜就知道怎么解了。该行列式等于(a-x)(b-x)(c-x)(b-a)(b-a)(c-b)