二项式展开式中最大系数、最大项的问题

Question

我知道二项式展开式中最大二项式系数怎么求，但我不太了解为什么比前后两项系数大的系数就是最大系数？
我还不太明白展开式中最大项是怎么求的？注意!是最大项！
我问的是展开式中的“系数”，不是“二项式系数”！最大项就是把整项都算进去的最大的项！
想知道算法和其原因
老师说用比前后项都大的算法列式算出最大系数和最大项，这是为什么？如果算出来由多个极值怎么办？

Answer 1

最大二项式系数就是求
C0n，C1n，……，Cnn中的最大的
而这个数列是先增大后减小的
所以最大的一个在中间，
如果n是奇数，最大的就是最中间一个
如果n是偶数，最大的就是最中间两个

展开式最大项是二项式系数还要乘以二项式中本身的数字。
这就要视题目而言，做一些比较

具体地说比如(a+b)^n展开，其中a，b是两个数字。
因为展开式是按照a的降幂排列，b的升幂排列，所以先看a和b的大小。
如果a大，那么最大项肯定在前一半，如果b大，就在后一半。
另外，如果是(a-b)^n的话，因为偶数项都是负的，所以只在奇数项里求就行了。
还是那句话，求最大项没有什么通法，还是得照上面的原则做一些比较。
不过一般能在题里出的都不会太麻烦。因为现在考试对计算能力的要求已经大大降低了。所以不用害怕此类题目。

再补充：
简单的说：二项式展开式的每一项，其实就相当于两个数列的对应乘积。一个是二项式系数的数列，即C0n,C1n,C2n……Cnn，这个数列是对称的，先增后减。另一个是上面的a和b的幂的乘积。这个数列是单调的，如果a大单调递减，如果b大单调递增（前提是b是正的）。
你所问的问题其实就相当于：一个单调数列与一个先增大后减小，有一个最大值的数列，对应相乘，结果会不会出现两个以上的最大值。
我想你也能想到了，答案是：不可能！
一个单调数列与一个先增大后减小的数列对应相乘，结果还是先增大，后减小。改变的只有最大值出现的位置。如果单调数列是增的，最大值会前移；单调数列是减的，最大值会后移。甚至有可能出现在第一个或者最后一个，但绝不会增加。
不知道你听明白了没有。

Answer 2

1：
二项式系数只是考虑二项式展开式的系数

也就是只考虑系数

即比较C(n,0),C(n,1),……，C(n,n-1),C(n,n)的大小

由于二项式展开式的系数是前后对称关系的，所以当

n为奇数时，最大项是中间的那一项系数，即C(n,n/2)；
n为偶数时，最大项是中间的两项的系数，即C[n,(n-1)/2]，C[n,(n+1)/2]；

当求最大二项式系数时，如果有一项的系数比前后两项系数大，当然就是最大系数了！

2：
求最大项的问题，
是比较展开的二项式的某一项的值的大小。

这个要考虑到系数的符号的问题，和未知数的增减性问题。
所以要视具体的题目才好说明！
不过记得考虑系数的符号，和未知数的增减性问题就应该很容易求了~

Answer 3

1、二项式系数最大的是中间一项或中间两项;
2、系数最大的项，未必是二项式系数最大的项，所以是利用T(r+1)的系数大于等于T(r)的系数且T(r+1)的系数大于等于T(r+2)的系数来解决的。
3、二项式系数和系数的两回事!!!!!!!!!!

Answer 4

楼上说的很完整了,解释一下，二项式展开的系数大小是对称的，也就是Con和Cnn、C1n和C(n-1)n，……在对称位置的大小是一样的。

Answer 5

补充一个最绝的，其实两个不等式你只需要解其中的一个即可，因为另外一个的解一定和前面的这个解相差1.证明过程就不写了，自己证明出来了就一定不会忘记的，加油！