求微分过程中，方程两边都有dx，这个dx可以约去吗？

Question

如方程：(xy)^2=cos(xy),求dy？ 过程如下
两边同时取微分：2(xy)d(xy)=-sin(xy)d(xy);

约去d(xy)： 2xy=-sin(xy);
两边同时取微分：2d(xy)=-cos(xy)d(xy);

约去d(xy)：2=-cos(xy);

两边同时取微分：0=sin(xy)d(xy);

则,d(xy)=xdy+ydx=0 故，dy=-ydx/x.

我知道是不能约去微分量的，这会导致其他错误结果，但是按照乘法规则应该可以约的？
真困惑!
为什么不能两边约去dx？？？(为什么不符合乘法规则？)

Answer 1

因为这是积分求导数问题，d是取无穷小量的意思，数学里边把它叫微分。dy就是对y取无穷小量，dx就是对x取无穷小量。dy/dx就是两个无穷小量的比值，也就是y关于x的变化率，也叫关于x的导函数，简称导数。
例如y=x^2,求导为y'=2x,

不可以啊，正确的做法为
两面对x同时求导得
-sin(xy)(y+xy')=2xy(y+xy')
整理得 -ysin(xy)-2xy²=[xsin(xy)+2x²y]y'
y'=-[ysin(xy)+2xy²]/[xsin(xy)+2x²y]

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Answer 2

事实上，是可以约去的。
关键是你这里是个特殊情况。
设xy=a 我们有 (a)^2=cos(a) 你这里已经是个方程了，不是函数。

而微分一定的是对函数来说的

f(x)dx=g(x)dx 我们是一定有 f(x)=g(x)的本回答被提问者采纳

Answer 3

不能约的.你的例子看成t^2=cost,微分后2tdt=-sintdt约分后2t=-sint问题出现了:2t=-sint有个解t=0,但0不是t^2=cost的解!原因是约掉了dt=0