求（1+x-x^2-x^3)^5的展开式中含x^3项的系数。

Question

如题所述

Answer 1

两种方法。
一是直接用展开式。五个括号，乘积要得到 x^3 ，可以是四个括号里取常数项，一个括号里取 x^3 项；或三个括号里取常数项，一个括号里取 x^2 项，一个括号里取 x 项；或两个括号里取常数项，三个括号里均取 x 项，
所以系数=C(5,4)*1^4*(-1)+C(5,3)*1^3*C(2,1)*1*(-1)+C(5,2)*1^2*C(3,3)*1^3
= -5-20+10= -15 ；
二是先把 (1+x-x^2-x^3)^5 化为 (1-x)^5*(1+x)^10 ，然后分别算出 (1-x)^5 的前四项：1-5x+10x^2-10x^3 以及 (1+x)^10 的前四项：1+10x+45x^2+120x^3 ，
所以所求系数=120-5*45+10*10-10= -15 。追问

太谢谢你了！

Answer 2

=1+x-x2(1+x)
=(1+x)2（1-x）
（1+x-x^2-x^3)^5=(1+x)10(1-x)5

展开式中含x^3项的系数就是(1+x)10中常数项乘(1-x)5里的x^3项，(1+x)10的x对(1-x)5的x2项，一共四组

1*(-C5,3)+C10,1*C5,2+C10,2*(-C5,1)+C10,3=205追问

我得-15呢？

追答

答案我不知道有没有算错，你方法知道就行啦，话说我还真不知道有没有算错...

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