设函数f(x)=x^2e^(x-1)+ax^3-bx^2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点，(1).求a和b的值；(2)设g(x)=2/3x^3-x^2

Question

设函数f(x)=x^2e^(x-1)+ax^3-bx^2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点，(1).求a和b的值；(2)设g(x)=2/3x^3-x^2，试比较f(x)和g(x)的大小。 第一题我会，第二题不知道怎么写过程一定要详细，谢谢了！

Answer 1

(1)
f'(x)=2xe^(x-1)+x²e^(x-1)+3ax²-2bx
=e^(x-1)(x+2)x+3ax²-2bx
∵知x=-2和x=1为f(x)的极值点
∴f'(-2)=12a+4b=0
f'(1)=3+3a-2b=0
解得：a=-1/3,b=1
(2)
f(x)=x²e^(x-1)-1/3x³-x²
g(x)=2/3x³-x²
f(x)-g(x)=x²e^(x-1)-x³=x²[e^(x-1)-x]
设h(x)=e^(x-1)-x
h'(x)=e^(x-1)-1
∴x<1时，x-1<0 ,e^(x-1)<1,
h'(x)<0,h(x)为减函数
当x>1时，x-1>0,e^(x-1)>1,
h'(x)>0,h(x)递增
∴h(x0min=h(1)=0
即h(x)≥0恒成立
∴f(x)-g(x)=x²h(x)≥0
当x=1以及x=0时，取等号。

Answer 2

f(x)-g(x)=x2(ex-1-x)．
令h（x）=ex-1-x，则h'（x）=ex-1-1=
令h'（x）=0，得x=1
列表可得
当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（-∞，+∞）时，h（x）≥h（1），
也就是恒有h（x）≥0．
又x2≥0，
所以f（x）-g（x）≥0，
故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．