已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

Question

已知函数f(x)＝alnx－x2＋1. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值； (2)求证：f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是 a＝2； (3)若a<0，且对任意x1、x2(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

Answer 1

已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；
(2)求证：f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是 a＝2；
(3)若a<0，且对任意x1、x2(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

(1)解析：∵函数f(x)＝alnx-x^2+1，其定义域为x>0
∴f’(x)＝a/x-2x==> f’(1)＝a-2
∵f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0
∴f’(1)＝a-2=4==>a=6，f(1)＝-1+1=0
则切线方程y=4(x-1)==>b=-4
∴a=6,b=-4

(2)证明：充分性
∵a=2==> f(x)＝2lnx-x^2+1
令f’(x)＝2/x-2x=0==>x=1
f’’(x)＝-2/x^2-2==>当x>0时，f’’(x)<0，∴函数f(x)在x=1处取极大值f(1)=0
∴a=2时，对任意x>0，f(x)≤0恒成立
必要性
∵函数f(x)＝alnx-x^2+1，其定义域为x>0
令f’(x)＝a/x-2x=0==>x=√(2a)/2 (a>0)
f’’(x)＝-a/x^2-2==>当x>0时，f’’(x)<0，∴函数f(x)在x=√(2a)/2处取极大值f(√(2a)/2)=a(ln(2a)/2-ln2)-a/2+1
令a(ln(2a)/2-ln2)-a/2+1=0==>a=2
∴对任意x>0，f(x)≤0恒成立，则a=2
综上，a=2是f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件

(3)解析：∵函数f(x)＝alnx-x^2+1，其定义域为x>0
当a<0时，对任意x1,x2∈(0,+∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|成立
即，|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|==>|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|>=1==>|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|>=1
由导数定义可知，即|f’(x)|>=1
f’(x)＝a/x-2x>=1==>a>=x-2x^2==> g(x)最大值为1/4（不合题意）
f’(x)＝a/x-2x<=-1==>a<=2x^2-x
设g(x)=2x^2-x==>g(x)最小值为-1/4
∴a的取值范围为a<=-1/4

Answer 2

解：
1)
由题，f'(x)=a/x-2x
∴f'(1)=a-2
由切线方程，可知f‘(1)=k=4
∴a=6
当x=1时，f(x)=6ln1-12+1=0，则切点(1,0)
设点斜式y=4(x-1)，有y=4x-4
∴b=-4
综上，a=6，b=-4

2)
证明：
①充分
当a=2时，f(x)=2lnx-x²+1
令f’(x)=2/x-2x=0，有
x=1
列表
x (0,1) 1 (1,+∞)
f‘(x) + 0 -
f(x) ↗ 0 ↘
∴f(x)max=f(1)=0
∴f(x)≤0
②必要
当f(x)=alnx-x2+1≤0时，有
f(x)max≤0
求导，有f‘(x)=a/x-2x=(a-2x²)/x
A.当a≤0时f’(x)＜0，f(x)单减
又f(1)=0
显然当0＜x＜1时，f(x)＞0
与题设不符，舍去
B.当a＞0时f‘(x)=(√2x+√a)(√2x-√a)/x
令f’(x)=0，有x=-√2a/2(舍去)或x=√2a/2
列表
x (0,√2a/2) √2a/2 (√2a/2,+∞)
f‘(x) + 0 -
f(x) ↗ ↘
∴f(x)max=f(√2a/2)≤0
又f(1)=0
∴√2a/2=1
∴a=2
∴要使f(x)≤0，必有a=2
综合①②，a=2是f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件

3)
由2)②，当a＜0时，f(x)单减
不妨令0＜x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|=f(x1)－f(x2)，|x1－x2|=x2-x1
∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2-x1
即f(x1)+x1≥f(x2)+x2
令g(x)=f(x)+x=alnx-x²+x+1
则g(x)在(0,+∞)是单减函数
又g’(x)=a/x-2x+1=(-2x²+x+a)/x
∴当x＞0时-2x²+x+a≤0
易知-2x²+x+a=-2(x-1/4)²+1/8+a
当x=1/4时取得最小值为1/8+a
∴a+1/8≤0
a≤-1/8
∴a∈(-∞,-1/8]

Answer 3

a=2 b = -4