一道高数题

Question

设有一个半径为R，长度为l的圆柱体平放在深度为2R水池中，圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为p，p大于1现将它从水中移出水面，需做多少功？

Answer 1

圆柱体全部移出水面，要提升2R的高度，以垂直方向向上为y轴，体积微元为Ldxdy,质量为pLgdxdy,功的微元为PLg2Rdxdy,同水的浮力作负功，其做功高度为y,它的功的微元为PLgydxdy

所以需要做作E=两都积分差。我们考虑柱体右边一半的情况，总体乘以2就可以了。如下图：

追问

水的浮力怎么做负功？

追答

向上的提升力F与水的浮力f,合力作功是前面部分。现在计算的是F做的功。题目问的是要做多少功？我理解为F做多少功，如果是理解系统整体，那就是前一项，不减除浮力做的功了。看你的理解了。

Answer 2

计算比较麻烦，我只说一下过程
设水池水平横截面面积为s，计算水的体积，再计算前后的势能，相减即可。
计算初态水的势能时，要对整体进行分割，2R*2R*L为一部分，重心在R处，其余2R*（s-L*2R)为另外一部分。