线性代数概念问题

Question

选哪个，为什么？每个选项都代表什么意思？
答案是D。

Answer 1

已知的概念与结论：
两个向量组等价指的是两个向量组可以相互线性表示。
如果向量组I可以由向量组II线性表示，则向量组I的秩≤向量组II的秩。

－－－－－－
（A）这个是充分条件，不是必要条件。反例：对标准的3维单位向量组e1,e2,e3，向量组e1,e2的秩是2，e1,e2不能由e2,e3线性表示，但是向量组e2,e3的秩也是2。
（B）这个既不是充分条件也不是必要条件。能得到的结论是向量组β1,β2,...,βm的秩≤m，秩未必等于m。反例：向量组e1,e2的秩是2，向量组e1,2e1可以由向量组e1,e2线性表示，但是向量组e1,2e1的秩是1。
（C）这个是充分条件，不是必要条件。等价的向量组等秩，反之不一定成立。比如向量组e1,e2与e2,e3，秩相等，但不等价。
（D）其他几个是错的，这个就应该是正确的了。
两个矩阵等价，指的是一个矩阵经过若干次初等变换可以化成另一个矩阵。
若A与B等价，则存在n阶可逆矩阵P，m阶可逆矩阵Q，使得B=PAQ，所以秩B=秩A=m，所以向量组β1,β2,...,βm的秩是m。
反过来，如果向量组β1,β2,...,βm的秩是m，则矩阵B的秩也是m，利用A与B的标准形，存在n阶可逆矩阵P1,P2，m阶可逆矩阵Q1,Q2，使得P1AQ1=P2BQ2=
Em 0
0 0
所以，(P2逆P1)A(Q1Q2逆)=B，所以矩阵A与B等价。

Answer 2

如果你不知道 (A) 和 (B) 的意思, 那么后面就不用看了, 也不用继续问我.

(A) \alpha_1, ..., \alpha_m 可以由 \beta_1, ..., \beta_m 线性表示说明
dim span{\alpha_1, ..., \alpha_m} <= dim span{\beta_1, ..., \beta_m}
再用已知条件
dim span{\alpha_1, ..., \alpha_m} = m
得到 \beta_1, ..., \beta_m 线性无关.

(B) \beta_1, ..., \beta_m 可以由 \alpha_1, ..., \alpha_m 线性表示得到的是
dim span{\beta_1, ..., \beta_m} <= dim span{\alpha_1, ..., \alpha_m}
这个没用, 因为 \beta_i 甚至可以是零向量.

(C) 两个向量组等价的意思是说可以互相线性表示, 或者说张成的空间相同 (注意, 是相同, 而不是同构), 既然如此用 (A) 的结论即可.

(D) 两个矩阵 A 和 B 等价的意思是存在可逆矩阵 P 和 Q 使得 PAQ = B.
注意向量组的等价按矩阵形式写相当于存在 Q_1, Q_2 使得 AQ_1 = B, BQ_2 = A, 不能有行变换.
所以这里很容易举反例, 比如 A 是单位阵的前 m 列, B 是单位阵的后 m 列.

所以 (A) 和 (C) 是正确的, 你给的答案是错的.
另外, "两个向量组等价"并不是通用的术语, 一般要避免使用, 这也说明了你的题目来源并不好.追问

课本上的题

追答

我看错题目了，原来的回答不正确

但是我的观点不变，你用的课本多半不是什么好的课本