微积分的物理应用

Question

将一底半径为r、高为h且开口朝上的圆锥形容器内的水，抽到高出容器顶面a处时要做多少功？
我很奇怪抽到高出顶面时是什么情况？求高手的解答过程

Answer 1

伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

1、解决变速直线运动位移问题
匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？
例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？
【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式 就可以求得汽车走了0.025公里。
但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即 。
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系 ，从开始刹车到停车的时间t=5s， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移

小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.

2、解决变力做功问题
恒力做功，我们可以利用公式直接求出 ；但对于变力做功，我们如何求解呢？
例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为 ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用 来求。
可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A和B，设OA、OB与水平直径的夹角为θ。在 的足够短圆弧上，△S可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A、B两点附近的△S内，摩擦力所做的功之和可表示为：

又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：

综合以上各式得：
故摩擦力对车所做的功：
【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力 ，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为

小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道。

在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。参考资料：高中物理中微积分思想 浙江省湖州中学物理组 潘建峰

Answer 2

圆锥高H，水深h，水密度ρ
任意水深h处圆锥水平截面面积为 π[hr/(H-h)]²
该处一薄片厚度dh水体抽至H高度需要做功
dW=πρgh[hr/(H-h)]²dh
W=∫(0,H) πρgh[hr/(H-h)]²dh追问

麻烦把我题目中的字母代进去一下！看不懂你这式子

追答

为了使用h为水深，只是把圆锥的高改为H。
你的顶面a处是不是水深h=0处？如果是的话，那么上面是对的

追问

应该不是，答案为(πr²hpg/3)(a+h/4)

追答

如果a为h=0之上的高度，那么
W=∫(0,H) πρg(h+a)[hr/(H-h)]²dh

追问

算了半天，不是答案、、、

追答

抱歉，刚才面积算错……汗……
任意水深h处圆锥水平截面面积为 π[(H-h)r/H]²
该处一薄片厚度dh水体抽至h+a高度需要做功
dW=πρg(h+a)[(H-h)r/H]²dh
W=∫(0,H) πρg(h+a)[(H-h)r/H]²dh

刚积分过了，结果正是(πr²hpg/3)(a+h/4)

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