arctan0.1x+arctanx=π/2,这个x的值该怎么解啊，谢谢了

Question

如题所述

Answer 1

首先arctan(x)值域为(-π/2,π/2), tan(arctan(x))有定义并等于x.
于是对arctan(x) = π/2-arctan(0.1x)两边取tan得
x = tan(π/2-arctan(0.1x)) = cot(arctan(0.1x)) (诱导公式)
进一步cot(arctan(0.1x)) = 1/tan(arctan(0.1x)) = 1/(0.1x).
于是x = 1/(0.1x), 即有x² =10, x = ±√10.
这里要注意, 我们两边取tan的步骤可能产生增根, 因为tan相等只需相差π的整数倍.
而arctan(√10)与π/2-arctan(0.1√10)都在(0,π/2)内, tan后相等说明原来相等.
因此x = √10是一个解.
另一方面arctan(-√10) < 0, arctan(-0.1√10) < 0, 二者之和 < 0, 故x = -√10是增根.
综上, 方程有唯一解x = √10.来自：求助得到的回答

Answer 2

移项 arctan0.1x+arctan0.8x=π∕2+arctan0.6x （方程1）
由tan（arctana）=a tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
方程1两边取正切tan可得
左边=(0.1x+0.8x)/(1-0.08x^2)
令k=tanπ∕2 则k->∞ 右边=lim(k->∞) (k+0.6x)/(1-0.6x*k)=-1/0.6x
即方程可化为 0.9x/（1-0.08x^2)=-1/0.6x
解方程可得x=+√(50/23)或者- √(50/23)