求解(1-exp(j*2*pi*r))/(1-exp(j*2*pi*r/N))等于N或0的推导过程。

Question

求上等式推导过程。为什么当r=mN时，等于1.其他时等于0.请给出推导过程

Answer 1

我一说你就明白了，
那么∑e^(j2πrn/N)是个等比数列，公比是q=e^(j2πr/N)，首项是a1=1
所以按照等比数列前n项和的公式求就行了。

当r=mN时，
那个右边的分式=[1-e^(j2πmN)]/[1-e^(j2πm)]
因为e^(j2πm)=cos(2πm)+isin(2πm)=1
e^(j2πmN)=cos(2πmN)+isin(2πmN)=1
所以，分子和分母都是零。
是一个0/0形的极限，可以令t=e^(j2πm)
那么分式=(1-t^N)/(1-t)
然后求t->1时的极限，用罗比达法则，就得到极限为N
所以此时
原式=(1/N)[1-e^(j2πmN)]/[1-e^(j2πm)]=1

当其他时候，分母是不等于0的，
e^(j2πr)=cos(2πr)+isin(2πr)=1
分子依然会等于0的，所以分子=0
所以原式=0

那个r是个整数吗？？如果不是整数就不行了，按照题意他应该是个整数追问

为什么分母会不等于0?
即e^(j2π)=1;

e^(j2π/N*r*N)=e^(j2π*r)=(e^(j2π))^r=1^r=1
分子=1-e^(j2π*r)=0；
e^(j2π/N*r)=e^(j2π*r/N)=(e^(j2π))^(r/N)=1^(r/N)=1
分母=1-e^(j2π*r/N)=1-1^(r/N)=0 ????为什么说分母不等于零。能推导一下。分就全给你了。

追答

显然不是啊，r=1/3
那就是e^(j2π/3)= cos(2π/3)+isin(2π/3)=-1/2+i√3/2

你知道那个r为什么不能拿到外面来么，因为欧拉公式是有周期性的
e^(ix)只是一种简写的形式，写全了是e^(i(x+2kπ))
所以e^(j2π*r)=e^(j(2π*r+2kπ))≠ (e^(j2π))^r

所以只有当r时整数的时候，才等于1

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追问

感谢你的回答，但是你前面不是，令t=e^(j2πm)
那么分式=(1-t^N)/(1-t)，这里N不也是提出外面来了吗？这个你再说说为什么？整数就能提，非整数就不能提？最好用归纳，用确确的值带入式子来证明，总感觉没有普遍性，感觉不证明有说服力。

追答

对的，那天回答你的时候，没有想明白，其实是这样的，
整数的话，可以提出来。比如这里的N
但是分数就不行了。
在复数范围内，1^(1/3)≠1
1^(1/3)，是对1开3次方，他有三个结果，1只是其中一个。
要求所有的根，设(a+bi)^3=1
然后展开，求a,b 就得出了1的三次方根。有三个根

所以e^(j2π*r)=1^r≠1

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