在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知A，B，C成等差数列，且b＝根号3。 (1)若sinA＋cosA...

Question

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知A，B，C成等差数列，且b＝根号3。
(1)若sinA＋cosA＝根号2，求a；
(2)求三角形ABC面积的最大值。

Answer 1

sinA=a/b,cosA=c/b
a+c=√6，
(a+c)^2=a^2+b^2+2ac=3+2ac=6,
2ac=3
2a(√6-a)=3,
a=√6/2，
SΔABC=1/2ac=-1/2(a^2-√6a+3/2)+3/4
=-1/2(a-√6/2)^2+3/4≤3/4，
∴S最大值=3/4

Answer 2

A+C=2B,B=π/3，a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
①已知等式平方,1+sin2A=2
sin2A=1,2A=π/2,A=π/4,
b=√3,k=2
a=ksinA=√2
②S=ac√3/4≤sinAsinC
=[cos(A-c)-cos(A+C)]/2
A=C=B,Smax=√3/4

Answer 3

2B=A+C,B=60,sin(A+45)=1,A=45
a/sin45=根号3/sin60, a=根号2
S=1/2acsin60<=根号3/8(a^2+c^2)=根号3/2[2-cos(A+C)cos(A-C)]
=根号3/2[2+cosBcos(A-C)]=根号3/2[2+1/2cos(A-C)]
,最大=5根号3/4

Answer 4

sinA＋cosA=√2sin(A+pi/4);A=pi/4，ABC等差，B=pi/3;正弦定理a=√2;（2）余弦定理得到2ac*cosB=a^2+c^2-b^2>=2ac-b^2;从而ac<=b^2/(2*(1-cosB));S=1/2*ac*sinB<=1/2sinB*b^2/(2*(1-cosB))=3*√3/4