高一数学函数题求解！我想知道第3问如何推出的f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4）？

Question

【原题】
定义域为R的函数f（x）满足以下两个条件：
①对于任意的x，y属于R，均有f（x+y）=f（x）f（1-y）+f（1-x）f（y）成立；
②（x）在[0，1]上单调递增．

前两问已求出f（1）=1，且函数为奇函数，第三问求周期时标答是这样的：
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
即：函数f（x）的最小正周期为4．

不懂啊，怎么推出的f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4）？

Answer 1

根据f（x+y）=f（x）f（1-y）+f（1-x）f（y）
令x，y=0，则：
f(0)=f(0)f(1)+f(1)f(0)
求得：
f(0)=0
或者当f(0)≠0时，f(1)=1/2
再令y=0，则：
f(x)=f(x)f(1)+f(1-x)f(0) ......................(1)
上式中用1-x代替x，可得：
f(1-x)=f(1-x)f(1)+f(x)f(0),即：
f(1-x)=2f(x)f(0)带入（1）中，
f(x)=4f(x) f²(0)
很显然，f(0)≠0，否则，f(x)=0恒成立，这样不满足条件2，
因此，f(0)=1/2成立，楼主怎么求的f(1)=1的？

Answer 2

已求出函数为奇函数
则f(0)=0，且f(-x)=-f(x)
令y=-x
则f(0)=f(x-x)=f(x)f(1+x)+f(1-x)f(-x)=f(x)[f(1+x)-f(1-x)]=0
解得f(1+x)=f(1-x)
由此可以得到f(x)=f(2-x)
又函数是奇函数，所以f(2-x)=-f(x-2)
又由f(x)=f(2-x)，所以f(2-x)=-f(x-2)=-f(2-x+2)=-f(4-x)=f(x-4)

为了便于明白，写得啰嗦了些追问

我懂了！谢谢！

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Answer 3

∵在(Ⅱ)的结果中。“...,且函数为奇函数,” 既然函数是奇函数，奇函数的表达式为：f(-x)=-f(-x).
则,f(x)=f(2-x).
f(-x)=-f(-(2-x),
=-f(x-2).
∵2是函数的最小正周期(不是4), ∴f(2-x)=f((2+(2-x))=f(4-x).
f(2-x)=-f(x-2)=-f(4-x)=f(x-4).

Answer 4

奇函数f(0)=0,f(2-x)=-f(x-2),-f(4-x)=f(x-4)

y=1时，
f(x+1)=f(1-x)
f(x)=f(2-x)
f(x-2)=f(4-x)
∴f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-f(4-x)=f(x-4)