值域如何求

Question

如题所述

Answer 1

（手机不好打符号，所以下文中“x的a次方”均用“x^a”表示，“x分之一”用“x^(-1)”表示”，“根号x”用“x^(1/2)”表示。）
（可能有些乱，不妨看的同时转化在纸上写出来清楚些～。）
常见求值域的方法有：
1.配方法（常用于二次函数）。
即将二次函数整理成形如y=a(x-h)^2+b，若a>0则值域为[b,正无穷)，若a<0则值域为(负无穷,b]。
2.换元法。
将复杂的函数通过换元转化为熟悉函数的形式。如y=4^x+2^x+3，可以设t=2^x，所以原函数就可以转化为y=t^2+t+3，求其值域。
3.基本不等式法。
先对函数变形，使之具备“一正二定三等”的条件后，再用基本不等式求出值域。如形如函数y=ax+bx^(-1)。
4.利用函数的单调性。
5.分离常数法。
6.数形结合法。
例题：求函数y=(x^2-2x+5)^(1/2)+(x^2+2x+5)^(1/2)的值域
解题思路：原函数整理后可化为y=[(x-1)^2+(0-2)^2]^(1/2)+[(x+1)^2+(0-2)^2]^(1/2)。设P点坐标为(x,0)，A点坐标为(1,2)，B点坐标为(-1,2)，则函数y则可以理解为PA,PB两线段和即y=|PA|+|PB|，再结合图像坐标………
7.导数法。
先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域和最值。

（有的地方就不展开了，还有不明白的可以追问w。）追问

那什么什么法不是求解析式的吗

追答

正是因为原有的函数过于复杂，所以要通过整理原有的解析式，转化成熟悉的解析式就好求值域。

数学里的思路一般都是这样，化繁为简。就像解n次方程的思路都是将次一样。

Answer 2

求值域的方法很多。

直接法，根据自变量x的取值范围来求y的范围。

分离常数法：常用于分子分母都是一次代数式的分式方程。

利用单调性求值域：大多数函数实质上都是利用单调性来求的。定义或求导判断单调性。

换元法，把复杂的式子通过换元，变成简单的或已知的函数求解，注意换元后的变量的范围。

配方法，常用于二次方程

判别式法，利用deta判别式来求值域，注意x的取值范围对y的影响。

基本不等式法

追问

若y分之x＋1呢

追答

值域是对函数来说的，我们通常针对于y=f(x)来说的。
(x+1)/y 或x/y+1，不是函数，只是一个表达式。因此没有值域这一说法的。
应该是y=(x+1)/(.....)

追问

那就假如这是一个函数，那怎么做

追答

最基本的，就是根据x的范围来求y的范围。
如果是一个函数，如y=(x+1)/(x-3)，定义域为{x|x≠3},因此，y=(x-3+4)/(x-3)=1+4/(x-3)。因为x≠3,所以4/(x-3)≠0，因此y=1+4/(x-3)≠1.即函数的值域为{y|y≠1}

追问

那啥是判别式求值域

追答

问楼上，或百度一下！

追问

懂了

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